El Conjunto de los números Reales - TEC-Digital

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8 El Conjunto de los Números Reales Residuo que se repite −→ −→ −→ −→ −→ −6 10 −6 40 −36 40 −36 40 −36 40 −36 4 7 6 1.1666... Por lo que −7 = −1.1666..., donde los tres puntos significan 6 que el dígito 6 se repite indefinidamente y escribimos: −7 6 = −1.1 6 (observemos que solo el 6 se repite) Note que en el ejemplo 3, al obtener las expansiones decimales de los números dados no se llega a un residuo final cero, pero a partir de cierto momento, los residuos se repiten, lo que a su vez implica que un dígito - o un grupo de dígitos - del cociente, se repiten (en el ejemplo 3 se repiten 18 y 6 respectivamente) por lo que decimos que 0.18 y −1.16 son expansiones decimales periódicas infinitas. Definición 6 Sea a ∈ Q tal que a ∈ Z y b ∈ Z. b Si al dividir a por b no es posible obtener como residuo final cero, se dice a tiene una expansión decimal b periódica infinita. Los resultados obtenidos en los ejemplos (1), (2), (3) son casos especiales del siguiente hecho. Ejercicios 1 Todo número racional se puede representar por una expansión decimal periódica finita o por una expansión decimal infinita periódica (o simplemente por una expansión decimal periódica). Para cada uno de los números siguientes determine su expansión decimal e indique si ésta es finita o periódica infinita. a.) −17 3 b.) 1 20 c.) −3 7 d.) 13 6 e.) 421 100
J. Rodríguez S. A. Astorga M. 9 De lo anterior ya sabemos que todo número racional se puede expresar por medio de una expansión decimal periódica (finita o infinita). Pero, ¿es cierto lo inverso?, o sea ¿toda expansión decimal periódica (finita o infinita) representa un número racional? Antes de dar una respuesta a estas preguntas analicemos los siguientes ejemplos. Ejemplo 5 Determine si 0.23 representa un número racional. Solución Sean n = 0.23 entonces n = 0.232323... n = 0.2323 como se repiten los dígitos multiplicamos por 100 a ambos miembros de la igualdad. 100 n = 100(0.2323), realizando la operación 100 n = 23.23 Tomemos 100 n = 23.23 y n = 0.23, y restemos término a término 99 n = 23 por lo que: n = 23 99 Por lo tanto 0.23 representa un número racional y 0.23 = 23 99 Ejemplo 6 Determine si −0.456 representa un número racional. Solución Observe que en este caso la expansión decimal es finita. Sea n = −0.456 Multiplicando por 1000 a ambos miembros de la igualdad se tiene. 1000 n = −465 por lo que:
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Page 15 and 16: J. Rodríguez S. A. Astorga M. 15 2
Page 17 and 18: Por ejemplo: a.) 2 < 3 es equivalen
Page 19 and 20: Ejemplo 11 a.) | 3 |= 3 − 0 = 3 e
Page 21 and 22: Ejemplo 13 Determine el resultado q
Page 23 and 24: Las propiedades (1) y (2) se pueden
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Page 27 and 28: −5 + 4 · (2 − 7) = −5 + 4 ·
Page 29 and 30: Por lo que, 5 − 2 · [3 · (7 −
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Page 33 and 34: Realizando la división correspondi
Page 35 and 36: c.) −468 no es divisible por 5, p
Page 37 and 38: La suma de los dígitos que se encu
Page 39 and 40: 1.) Determine todos los factores na
Page 41 and 42: 300 2 150 2 75 3 25 5 5 5 1 Ejemplo
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Page 47 and 48: J. Rodríguez S. A. Astorga M. 47 L
Page 49 and 50: −39 27 es decir; c.) 15 4 −39 2
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Page 53 and 54: J. Rodríguez S. A. Astorga M. 53 A
Page 55 and 56: El mínimo denominador común de 7
Page 57 and 58: Nota J. Rodríguez S. A. Astorga M.
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.) 2 · 11 9 c.) −6 4 d.) −2 3
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a.) −3 5 b.) −5 4 c.) 3 ÷ 7 6
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c.) Así: −13 4 6 −13 4 6 = = =
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d.) −8 5 Por lo tanto −8 5 3 3
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1 − 8 −3 · 3 4 − 3 2 2
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a.) b.) 1 1 + 4 3 8 2 5 2 5 − 3 6
Page 71 and 72:
.) −3 · 2 − 3 2 3 − 2 ÷ 1
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Definición 28 Sea a ∈ R , n ∈
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Ejemplo 73 a.) 3 −2 = 1 3 2 b.) (
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a.) b.) 3 5 4 4 −9 7 = = = = =
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Si a ∈ R, n ∈ N, n par y a n
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−3−2 1 + 4 2 3 = −1 49 d.)
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1.) (34 ) 3 · (3 2 ) 4 (−3) 15
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c.) 2 −4 · 3 −1 10 −3 · 3
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a.) En 7√ 29, 7 es el índice del
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Ejercicios 52 J. Rodríguez S. A. A
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a.) b.) 4 (−3) 4 4 = | − 3| =
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225 3 75 3 25 5 5 5 1 Ejemplo 86 J.
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Ejercicios 57 J. Rodríguez S. A. A
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J. Rodríguez S. A. Astorga M. 97 S
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es decir: √ 45 + √ 80 = 7 √ 5
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1 1 · 2 = 3 3 · 2 ; de aquí que
Page 103 and 104:
i.) ii.) iii.) √ 3 = 2·15 √ 3
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