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163 a equação proposta, quo suppomos admittir um integral geral F (x, y, c) = 0, e seja y uma funcção de x e y. A equação (5) z [F dy dx dx 9 («. y) «K*. y) 3F íx 3 *F >y 3F DF tx ty ? («, y) ♦ ( x > y) ' Logo, chamando z o valor commum das duas fracções anteriores, temos as igualdades das quaes se deduz L « x i (x, y), ^ — z 4» («, y), * [(¢, y) dx +
1C4 onde é u = F (x, y, c), e 0 (u) uma funcção arbitraria de u, temos => * 6' (u) fo («, y) dx + 41 (œ, y) dy]. Logo qualquer factor da forma z 0' (u) torna o primeiro membro de (4) uma differencial exacta. Quando se conhece o factor z, determinase o integral de (5) pulo methodo anteriormente dado. A determinação porém do factor z é uma questão que não é mais simples do que a integração de (4) e só em casos particulares se pôde resolver. Vamos aqui considerar apenas um d'estes casos. Por ser o primeiro membro de (5) uma expressão differencial exacta, temos (n.° 3o) a condição a que deve satisfazer o factor z ou a [s y (x,r y)] =_ a [z (a?, y)] iy ix ' ' Pondo z = e u , esta equação transformase na seguinte / \ 2u i / \ *u> ty *
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