Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

te τ i , odstupanje i-tog tretmana od µ ili doprinos (efekt) i-tog tretmana, za i = 1, 2, . . . , k.
Veza medu efektima je
k∑
n i τ i = 0 (11.3)
i=1
i ona je posljedica (11.1), pretpostavki na model i (11.2).
11.1.2 Procjena parametara
Parametri µ, τ i , i = 1, 2, . . . , k, modela (11.1) procjenjuju se na osnovi opaženog uzorka
metodom najmanjih kvadrata, dakle, minimizacijom funkcije
k∑ ∑n i
q(µ, τ 1 , . . . , τ k ) = (y ij − µ − τ i ) 2
i=1 j=1
uz uvjet (11.3). Primijetite da zbog veze (11.3) slijedi da, u stvari, imamo k nepoznatih
parametara, a ne k + 1. Dobiveni procjenitelji su:
ˆµ = Y .. , ˆτ i = Y i. − Y .. , i = 1, 2, . . . , k,
gdje su statistike Y i. i Y .. definirane izrazima:
Y i. := 1 ∑n i
Y ij (uzoračka sredina za i-ti tretman), i = 1, 2, . . . , k
n i j=1
Y .. := 1 k∑ ∑n i
Y ij = 1 k∑
n i Y i. (sveukupna uzoračka sredina).
n
n
i=1 j=1
i=1
Primijetite da relacija (11.3) vrijedi i za procjenitelje efekata, dakle,
k∑
n iˆτ i = 0.
i=1
Uzoračka varijanca poduzorka koji odgovara i-tom tretmanu je
S 2 i = 1
n i − 1
n i
∑
(Y ij − Y i. ) 2 .
j=1
Za svaki i, Si 2 je nepristrani procjenitelj za σ 2 i (n i − 1)Si 2/σ2 ∼ χ 2 (n i − 1). Nadalje,
slučajne varijable S1 2, S2 2 ,..., S2 k su nezavisne, pa
Budući da je
zajednička uzoračka varijanca
1
σ 2
k∑
(n i − 1)Si 2 ∼ χ 2 (n − k).
i=1
k∑
k∑
E[ (n i − 1)Si 2 ] = (n i − 1)E[Si 2 ] = (n − k)σ 2 ,
i=1
i=1
ˆσ 2 := 1
n − k
k∑
(n i − 1)Si 2 = 1 k∑ ∑n i
(Y ij − Y i. ) 2
n − k
i=1
i=1 j=1
100