Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

Dvostrani se test hipoteze H 0 (dakle, uz alternativu H 1 : σ1 2 ≠ σ2 2 ) koristi da bi se ispitala
pretpostavka o jednakosti populacijskih varijanci za primjenu t-testa usporedbe populacijskih
očekivanja (mali uzorak, potpoglavlje 9.4.1, situacija 2.) Kojiput je dovoljno
sprovest grafički test za provjeru te pretpostavke. Postupak za provedbu tog testa je
sljedeći. Izračunajte uzoračke varijance i po potrebi renumerirajte uzorke tako da prvi uzorak
ima veću opaženu vrijednost uzoračke varijance. Izračunajte vrijednost testne statistike
i uvidom u tablice izračunajte vjerojatnost da testna statistika, uz H 0 , poprimi vrijednosti
veće ili jednake opaženoj. Tada je p-vrijednost jednaka dvostrukom iznosu te vjerojatnosti.
9.4.3 Test razlike izmedu populacijskih proporcija
Imamo velike i nezavisne uzorke duljina n 1 i n 2 iz Bernoullijevih populacija. Testiramo
H 0 : θ 1 = θ 2 .
Testna statistika je
ˆθ 1 − ˆθ 2 H 0
∼: N(0, 1),
√ˆθ(1 −
1 ˆθ)(
n 1
+ 1 n 2
)
pri čemu su ˆθ 1 i ˆθ 2 MLE za parametre θ 1 i θ 2 na bazi svakog uzorka posebno, te ˆθ = n 1 ˆθ 1 +n 2 ˆθ2
n 1 +n 2
je procjena zajedničke proporcije (uz H 0 ) na bazi združenih uzoraka.
9.4.4 Test razlike izmedu parametara Poissonovih razdioba
Zadana su dva velika i nezavisna uzorka duljina n 1 i n 2 iz populacija s Poissonovim razdiobama
P (λ 1 ) i P (λ 2 ). Testiramo
Testna statistika je
H 0 : λ 1 = λ 2 .
ˆλ 1 − ˆλ 2 H 0
∼: N(0, 1),
1
√ˆλ(
n 1
+ 1 n 2
)
pri čemu su ˆλ 1 i ˆλ 2 MLE za parametre λ 1 i λ 2 na bazi svakog uzorka posebno, te ˆλ =
n 1ˆλ1 +n 2ˆλ2
n 1 +n 2
je procjena zajedničkog parametra λ = λ 1 = λ 2 (uz H 0 ) na bazi združenih
uzoraka.
9.5 Osnovni test za sparene podatke
Pretpostavimo da slučajni uzorak D = (D 1 , D 2 , . . . , D n ) razlika komponenti parova sparenih
podataka (X 1 , Y 1 ), (X 2 , Y 2 ), . . . , (X n , Y n ) čine uzorak iz normalne populacije s nepoznatim
parametrima očekivanja µ D = µ 1 − µ 2 i varijance. Za zadani broj δ 0 testiramo
Testna statistika je
U slučaju velikog uzorka
H 0 : µ D = δ 0 .
T D = D − δ 0
S D
√ n
H 0
∼ t(n − 1).
H 0
T D ∼: N(0, 1).
Ista asimptotska razdioba vrijedi za populacije koje nisu normalno distribuirane.
83