Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

2.9.2 Neprekidne razdiobe
Neka je X neprekidna slučajna varijabla, a F x i f X njene funkcije distribucije i gustoće.
Pretpostavimo da je funkcija g strogo rastuća na intervalu ImX. Tada je za y ∈ ImY ,
F Y (y) = P(Y ≤ y) = P(g(X) ≤ y) = P(X ≤ g −1 (y)) = F X (g −1 (y)). (2.10)
Ako je g strogo padajuća na ImX, tada je za sve y ∈ ImY ,
F Y (y) = P(Y ≤ y) = P(g(X) ≤ y) = P(X ≥ g −1 (y)) = 1 − F X (g −1 (y)). (2.11)
U slučaju da je g −1 diferencijabilna u y ∈ ImY ,
f Y (y) = dF Y
dy (y).
Budući da za rastuću funkciju g vrijedi (2.10), slijedi
dF Y
dy (y) = dF X
dx (g−1 (y)) dg−1
dy (y) = f X(g −1 (y)) dg−1
dy (y).
Slično, budući da za padajuću funkciju g rijedi (2.11), slijedi
dF Y
dy (y) = −dF X
dx (g−1 (y)) dg−1
dy (y) = −f X(g −1 (y)) dg−1
dy (y).
Dakle, ako je inverz strogo monotone funkcije g diferencijabilan, vrijedi formula:
∣ f Y (y) = f X (g −1 dg −1 ∣∣∣∣
(y))
∣ dy (y) za y ∈ ImY. (2.12)
Primjer 2.3 Kažemo da slučajna varijabla Y ima log-normalnu razdiobu s parametrima
µ i σ 2 , ako je strogo pozitivna i log Y ima normalnu distribuciju N(µ, σ 2 ). Označimo
X = log Y . Tada je Y = e X , X ∼ N(µ, σ 2 ) i g(x) = e x . g je strogo rastuća funkcija na
R = ImX, a njen inverz g −1 (y) = log y je diferencijabilna funkcija na ⟨0, +∞⟩ = ImY s
derivacijom (g −1 ) ′ (y) = 1/y. Prema formuli (2.12),
f Y (y) = f X (log y) · 1
y = 1
yσ √ (log y−µ)2
e− 2σ 2 za y > 0.
2π
Često puta u primjenama funkcija g nije strogo monotona na intervalu ImX, ali je takva
po dijelovima. Na sljedećem primjeru ilustrirat ćemo kako se u tom slučaju izvodi formula
za gustoću od Y = g(X).
Primjer 2.4 Neka je Y = X 2 . Tada je g(x) = x 2 i g očito nije strogo monotona na
svakom intervalu realnih brojeva. Na primjer, nije monotona na R. Nadalje, očito je
ImY ⊆ [0, +∞⟩. Za y > 0 računamo
F Y (y) = P(Y ≤ y) = P(X 2 ≤ y) = P(|X| ≤ √ y) = P(− √ y ≤ X ≤ √ y) =
= F X ( √ y) − F X (− √ y).
Deriviranjem tog izraza dobijamo formulu:
f Y (y) = (f X (− √ y) + f X ( √ y)) ·
30
1
2 √ , y > 0. (2.13)
y