Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

5
4.5
4
isplata
3.5
3
2.5
2
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5
zahtjev
10.2.4 Potpuni normalni model i inferencija
Želimo li predvidati individualni ili srednji odziv na osnovi prilagodenog modela ili konstruirati
pouzdane intervale za parametre i sprovoditi testove o njihovim vrijednostima,
model treba u potpunosti specificirati. To znači da nam treba pretpostavka o populacijskoj
razdiobi slučajnih varijabli Y i , i = 1, 2, . . . , n, odnosno slučajnih grešaka. Dodatno pretpostavljamo
da su slučajne greške
(A4) nezavisne i normalno distribuirane: ε i ∼ N(0, σ 2 ) za sve i.
Uz takav potpuni model, slučajne greške ε 1 , ε 2 , . . . , ε n su n.j.d. sa N(0, σ 2 )-razdiobom. Slijedi
da su varijable Y 1 , Y 2 , . . . , Y n nezavisne i normalno distribuirane, Y i ∼ N(α + βx i , σ 2 )
za i = 1, 2, . . . , n.
Budući da se procjenitelj ˆβ za koeficijent smjera β može prikazati kao linearna kombinacija
nezavisnih normalnih varijabli Y i , i = 1, 2, . . . , n, normalno je distribuiran s očekivanjem
i varijancom kao što je ranije navedeno. Nadalje, može se pokazati da su statistike ˆβ
i ˆσ 2 nezavisne. Isti rezultati vrijede i za statistiku ˆα. Još vrijedi:
(n − 2)ˆσ 2
σ 2 ∼ χ 2 (n − 2).
Za takav, potpuno specificirani model mogu se tražiti MLE nepoznatih parametara. Uz
dane pretpostavke proizlazi da su procjenitelji ˆα i ˆβ dobiveni metodom najmanjih kvadrata
ujedno i MLE za te parametre, a da je MLE za σ 2 jednak (n − 2)ˆσ 2 /n.
10.2.5 Zaključivanje o koeficijentu smjera
Budući da su standardizirana verzija Z od ˆβ,
i varijabla
Z =
ˆβ − β
∼ N(0, 1),
σ√ 1
S xx
U =
(n − 2)ˆσ2
σ 2 ∼ χ 2 (n − 2)
94