Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

0.4
0.3
0.2
0.1
-3 -2 -1 0 1 2 3
Interpretacija parametara normalne razdiobe je da je µ = E[X] i σ 2 = Var[X].
Linearna transformacija normalno distribuirane varijable je opet normalno distribuirana
varijabla. Preciznije, ako je X ∼ N(µ, σ 2 ), te ako su a ≠ 0 i b realni brojevi, tada je
Y := aX + b ∼ N(aµ + b, a 2 σ 2 ). Specijalno, standardizirana verzija normalne varijable X,
Z = (X − µ)/σ, je normalno distribuirana s očekivanjem 0 i varijancom 1. Kažemo da Z
ima jediničnu normalnu razdiobu. Vrijednosti od Z su bezdimenzionalne (u smislu da nisu
izražene nekim fizikalnim jedinicama) i njima izražavamo koliko je standardnih devijacija
pripadna vrijednost X udaljena (i na koju stranu) od svoje očekivane vrijednosti µ. Ako je
Z < 0, tada je X za |Z| standardnih devijacija manji od µ, a ako je Z > 0, tada je X za Z
standardnih devijacija veći od µ.
Vrijednosti jedinične normalne razdiobe su tabelirane. Preciznije, ako je Φ funkcija
distribucije od N(0, 1),
Φ(x) =
tada su tabelirane vrijednosti funkcije
Φ 0 (x) =
∫ x
0
∫x
−∞
1
√
2π
e − t2 2
dt,
1
√
2π
e − t2 2 dt, za x > 0.
Ta se funkcija može proširiti (po neparnosti) na sve realne brojeve x relacijom
Očito mora biti Φ 0 (0) = 0. Φ i Φ 0 su vezane relacijom
Na primjer, iz tablica čitamo da je
Φ 0 (x) := −Φ 0 (−x), za x < 0. (2.8)
Φ(x) = 1 2 + Φ 0(x), za x ∈ R. (2.9)
P(0 < Z < 1.96) = Φ 0 (1.96) = 0.475,
28