Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

zovemo vjerojatnost na (Ω, F). Broj P(A) zovemo vjerojatnost dogadaja A. U slučaju kada
je Ω prebrojiv skup, F = P(Ω). Uredenu trojku (Ω, F, P) zovemo vjerojatnosni prostor.
Neka je Ω = {ω 1 , ω 2 , . . .} diskretan skup. Ako su zadane vjerojatnosti p 1 , p 2 ,... elementarnih
dogadaja ω 1 , ω 2 ,..., tada je sa
P(A) := ∑
ω i ∈A
p i (2.1)
zadana vjerojatnost na (Ω, P(Ω)). Vjerojatnosni prostor (Ω, P(Ω), P) zovemo diskretnim
vjerojatnosnim prostorom.
Primjer 2.1 (nastavak) Ako je igraća kocka simetrična, tada su vjerojatnosti p 1 ,..., p 6
elementarnih dogadaja 1,..., 6 sve jednake 1/6. U tom slučaju za vjerojatnost bilo kojeg
dogadaja A po formuli (2.1) vrijedi
P(A) = ∑
ω i ∈A
1
6 = |A|
6 ,
gdje je sa |A| označen broj elemenata skupa A. Na taj način dobiveni vjerojatnosni prostor
(Ω, P(Ω), P) je matematički model za bacanje simetrične (fer) igraće kocke. Ako kocka nije
simetrična, na primjer, ako vrijedi da je p 1 = 1/12, p 2 = p 3 = p 4 = p 5 = 1/6 i p 6 = 1/4,
tada se i dalje vjerojatnost svakog dogadaja A definira po formuli (2.1), ali P(A) ≠ |A|/6.
Dakle, dobili smo novi model za bacanje igraće kocke različit od prethodnog.
Brojevi p 1 , p 2 ,... kojima zadajemo vjerojatnosti elementarnih dogadaja nisu sasvim
proizvoljni. Naime, iz svojstva vjerojatnosti (P 1) nužno slijedi da je za sve i, 0 ≤ p i ≤ 1, a
iz (P 2) i (P 3) da mora vrijediti p 1 + p 2 + · · · = 1.
Neka je sada (Ω, F, P) bilo koji vjerojatnosni prostor, te neka su A, B dva dogadaja.
Pretpostavimo da znamo da se dogodio B (P(B) > 0), pa nas zanima kolika je vjerojatnost
da se dogodio A. Dakle, zanima nas kolika je uvjetna vjerojatnost od A uz uvjet da se
dogodio B. Jasno je da ta vjerojatnost ne mora biti jednaka P(A) jer su njome (možda)
obuhvaćeni i oni elementarni dogadaji za koje već znamo da se nisu dogodili, dakle, oni
koji nisu povoljni za dogadaj B. Isto tako, ta vjerojatnost ne mora biti jednaka P(A ∩ B)
jer je, zbog informacije da se B dogodio, B postao novi prostor elementarnih dogadaja,
pa bi nova vjerojatnost na B morala biti normirana (svojstvo (P 2)). Stoga se uvjetna
vjerojatnost dogadaja A uz uvjet da se dogodio B definira kao broj
P(A|B) :=
P(A ∩ B)
. (2.2)
P(B)
Kažemo da su dogadaji A i B nezavisni ako je
P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
Primijetite da je ta relacija ekvivalentna sa svakom od sljedećih, dolje navedenih relacija
(ako je 0 < P(A) < 1 i 0 < P(B) < 1):
P(A|B) = P(A), P(A|B c ) = P(A), P(B|A) = P(B), P(B|A c ) = P(B).
Odavde odmah slijedi da su i dogadaji A i B c , A c i B, te A c i B c nezavisni. Dakle,
dogadaji su nezavisni ako dogadanje ili nedogadanje jednog ne utječe na vjerojatnost drugog
dogadaja i obratno.
18