Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

Ta se slučajna varijabla kristi kao pivotna veličina za konstrukciju pouzdanih intervala od
E[Y |x 0 ].
Pretpostavimo sada da želimo procijeniti koliko bi iznosila jedna opservacija od Y za
dano X = x 0 , dakle, koliki bi bio iznos individualnog odziva Y , u oznaci Y 0 , na poticaj
X = x 0 . Procjenitelj za tu slučajnu vrijednost (na osnovi podataka iz uzorka) je
Ŷ 0 := ˆα + ˆβx 0 .
Varijanca (slučajne) pogreške koja nastaje tom procjenom je:
Var[Ŷ0 − Y 0 ] = Var[(ˆα + ˆβx 0 ) − (α + βx 0 + ε 0 )] = σ 2 (1 + 1 n + (x 0 − ¯x) 2
S xx
).
Nadalje, za studentiziranu verziju te pogreške procjene vrijedi:
Ŷ 0 − Y 0
√
∼ t(n − 2).
ˆσ 1 + 1 n + (x 0−¯x) 2
S xx
Ta se varijabla koristi kao pivotna veličina za konstrukciju pouzdanih intervala od Y 0 .
Primijetite da je dobiveni pouzdani interval za individualni odziv širi od odgovarajućeg
pouzdanog intervala za srednji odziv.
Primjer 10.6 Ponovo se vratimo primjeru 10.1. Na osnovi podataka iz tog primjera,
(a) procijenite 95%-pouzdan interval za očekivanu vrijednost isplata za zahtjeve s iznosom
jednakim 460 kn;
(b) procijenite 95%-pouzdan interval za vrijednost isplate ako je iznos zahtjeva jednak
460 kn.
Procjena očekivane (i individualne) vrijednosti isplate za dani iznos štete (x 0 = 4.6) je
jednaka
ˆα + ˆβx 0 = 0.1636 + 0.88231 · 4.6 = 4.222,
dakle, 422.20 kn. Opažena vrijednost 95%-pouzdanog intervala za srednji iznos isplate (a)
je
√
1 (4.6 − ¯x)2
Ê[Y |4.6]] ± t 0.025 (8) · ˆσ + = 4.222 ± 2.306 · 0.1306 = 4.222 ± 0.301,
10 S xx
a za individualni iznos isplate (b),
√
Dakle,
Ŷ 0 ± t 0.025 (8) · ˆσ
1 + 1 (4.6 − ¯x)2
+ = 4.222 ± 2.306 · 0.3004 = 4.222 ± 0.693.
10 S xx
(a) uz 95% pouzdanosti očekivana (srednja) vrijednost isplata za štete od 460 kn bit će
u intervalu od 392 do 452 kune, a
(b) uz 95% pouzdanosti vrijednost isplate za štetu od 460 kn bit će u intervalu od 353 do
492 kune.
Na slici (sljedeća stranica) navedene su granice 95%-pouzdanih intervala za srednju (točkasto)
i individualnu (crtkano) vrijednost isplata.
96