Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

Funkciju f X zovemo funkcijom gustoće razdiobe od X ili, jednostavno, gustoćom razdiobe
od X.
Budući da za neprekidnu slučajnu varijablu X vrijedi da je za sve x (uključujući i
x ∈ ImX), P(X = x) = 0, slijedi da je za sve a < b,
P(a ≤ X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a < X < b).
Nadalje, za gustoću vrijedi:
(G1) f X (x) ≥ 0 za sve x
(G2) +∞ ∫
−∞
f X (x) dx = 1.
Slično kao i u diskretnom slučaju, ako neka realna funkcija kojoj je slika interval realnih
brojeva ima svojstva (G1 − 2), tada kažemo da je to funkcija gustoće neke neprekidne
vjerojatnosne razdiobe.
Za funkciju distribucije neprekidne slučajne varijable X s gustoćom f X vrijedi:
F X (x) =
∫x
−∞
f X (y) dy. (2.4)
Funkcija (2.4) je neprekidna, rastuća, a u − i + beskonačnosti teži vrijednostima 0 i 1,
redom. Iz (2.4) i svojstva (iii) iz definicije, slijedi
Pomoću te relacije može se pokazati da je
P(a ≤ X ≤ b) = F X (b) − F X (a).
dF X
dx (x) = f X(x)
u vrijednostima x za koje je funkcija distribucije F X derivabilna.
2.4 Matematičko očekivanje
Matematičko očekivanje slučajne varijable X interpretira se kao srednja (očekivana) vrijednost
od X. Definira se kao broj E[X]:
E[X] := ∑
xf X (x) (ako je X diskretna)
E[X] :=
x∈ImX
+∞ ∫
−∞
xf X (x) dx
(ako je X neprekidna),
pod pretpostavkom da desne strane postoje u smislu da (red/integral) apsolutno konvergiraju.
Ako je g : R → R neka (dobra) realna funkcija (npr. po dijelovima neprekidna) i
X : Ω → R slučajna varijabla, tada je g(X) = g ◦ X : Ω → R takoder slučajna varijabla, pa
ima smisla računati E[g(X)]. Vrijedi:
E[g(X)] = ∑
g(x)f X (x) (ako je X diskretna)
E[g(X)] =
x∈ImX
+∞ ∫
−∞
g(x)f X (x) dx
20
(ako je X neprekidna),