Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

χ 2 -razdioba
Ako je X ∼ Γ( n 2 , 2) za n prirodan broj, tada kažemo da X ima χ2 -razdiobu s n stupnjeva
slobode, i pišemo X ∼ χ 2 (n). Vrijedi:
Primijetimo da je χ 2 (2) = Exp( 1 2 ).
Beta distribucija
E[X] = n, Var[X] = 2n.
Neprekidna slučajna varijabla X ima beta distribuciju s parametrima α > 0 i β > 0, i
pišemo X ∼ B(α, β), ako prima vrijednosti u intervalu ⟨0, 1⟩ i gustoća joj je:
Primijetite da vrijedi
f X (x) =
{ Γ(α+β)
Γ(α)Γ(β) xα−1 (1 − x) β−1 za 0 < x < 1
0 inače,
∫1
0
x α−1 (1 − x) β−1 dx = Γ(α)Γ(β)
Γ(α + β) .
Desna strana te jednakosti se označava sa B(α, β). Funkcija koja paru pozitivnih brojeva
(α, β) pridružuje tu vrijednost zove se beta funkcija.
Vrijedi:
E[X] =
α
α + β , Var[X] =
αβ
(α + β) 2 (α + β + 1) .
Uniformna razdioba na ⟨0, 1⟩ je poseban slučaj beta razdiobe kada su parametri α =
β = 1.
Normalna razdioba
Kažemo da X ima normalnu razdiobu s parametrima µ i σ 2 > 0, i pišemo X ∼ N(µ, σ 2 ),
ako je ImX = R i gustoća joj je
Ta razdioba je jedna od najvažnijih jer:
f X (x) = 1
σ √ (x−µ)2
e− 2σ 2 .
2π
1. dobar je model za veliku većinu fizikalnih mjerenja
2. dobra je aproksimacija velike klase drugih distribucija (na primjer, binomne)
3. dobar je model za uzoračku razdiobu raznih statistika
4. zaključivanje na osnovi velikih uzoraka i neki statistički postupci zasnivaju se na
pretpostavci normalnosti
5. pomoću nje se izvode mnoge druge distribucije
Graf funkcije gustoće se zove Gaussova krivulja i ona je zvonolikog oblika.
27