Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

Vrijedi:
E[X] = α + β
(β − α)2
, Var[X] = .
2
12
Svojstvo te razdiobe je da su vjerojatnosti podintervala iste duljine jednake.
Gama distribucija
Kažemo da slučajna varijabla X ima gama distribuciju s parametrima α > 0 i λ > 0, i
pišemo X ∼ Γ(α, 1/λ), ako je strogo pozitivna (ImX = ⟨0, +∞⟩) i gustoća razdiobe je
{ λ α
f X (x) =
Γ(α) xα−1 e −λx za x > 0
0 inače,
gdje je Γ(α) = +∞ ∫
0
t α−1 e −t dt Γ-funkcija. Svojstva te funkcije su:
(i) Γ(1) = 1, Γ(α) = (α − 1)Γ(α − 1) za α > 1, odakle slijedi da je Γ(n) = (n − 1)! za
prirodan broj n;
(ii) Γ(1/2) = √ π.
Vrijedi:
E[X] = α λ , Var[X] = α λ 2 .
Eksponencijalna distribucija
Ako je X ∼ Γ(1, 1/λ), tada kažemo da X ima eksponencijalnu distribuciju s parametrom
λ > 0, i pišemo X ∼ Exp(λ). Dakle, eksponencijalna distribucija je specijalni slučaj gama
distribucije kada je parametar α = 1. Prema tome, gustoća razdiobe i funkcija distribucije
od X, te matematičko očekivanje i varijanca, su:
f X (x) =
{
λe
−λx
za x > 0
0 inače,
F X (x) =
E[X] = 1 λ , Var[X] = 1 λ 2 .
{
1 − e
−λx
za x > 0
0 inače,
Eksponencijalna distribucija se koristi kao jednostavan model za vrijeme trajanja nekih
vrsta uredaja.
Važna interpretacija te distribucije je kao modela za vrijeme čekanja T izmedu pojavljivanja
dva dogadaja u Poissonovom procesu. Preciznije, ako Poissonov proces ima intenzitet
λ, te ako je X broj dogadaja u vremenskom intervalu [0, t], tada je (zbog X ∼ P (λt)):
P(T > t) = P(X = 0) = e −λt ⇒ F T (t) = 1 − P(T > t) = 1 − e −λt ⇒ T ∼ Exp(λ).
Nadalje, za sve pozitivne s i t vrijedi:
P(T > t + s | T > t) = P(T > s)
što znači da ako vrijeme mjerimo od bilo koje ishodišne točke (ne nužno od vremena kada
se zadnji dogadaj pojavio), da vrijeme čekanja ima istu eksponencijalnu razdiobu. Prema
tome, kao i u slučaju geometrijske razdiobe, eksponencijalna razdioba ima svojstvo neimanja
memorije.
Može se pokazati da se Γ(k, 1/λ)-razdioba, gdje je k prirodan broj, može interpretirati
kao zbroj od k nezavisnih Exp(λ)-distributiranih slučajnih varijabli. Drugim riječima,
slučajna varijabla s tom gama razdiobom se interpetira kao vrijeme čekanja da se dogodi
točno k dogadaja u Poissonovom procesu s intenzitetom λ.
26