Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

Geometrijska slučajna varijabla ima svojstvo neimanja memorije. Naime, za sve prirodne
brojeve n i k vrijedi:
P(X > n + k | X > n) = P(X > k).
Riječima, vjerojatnost da treba čekati više od n + k pokusa do uspjeha ako se zna da u
prethodnih n pokusa nije bilo uspjeha, jednaka je vjerojatnosti da do prvog uspjeha treba
čekati više od k pokusa. Dakle, irelevantno je što u prvih n pokusa nije bilo uspjeha. Šansa
za uspjeh nakon n neuspjeha nije ni veća, ni manja.
Geometrijska slučajna varijabla se može definirati i kao broj neuspjeha do prvog uspjeha.
Označimo tu varijablu sa Y . Tada je Y = X − 1 i
Negativna binomna razdioba
f Y (x) = θ(1 − θ) x za x ∈ ImY = {0, 1, 2 . . .},
E[Y ] = 1 − θ , Var[Y ] = 1 − θ
θ
θ 2 .
Negativna binomna distribucija je poopćenje geometrijske distribucije. Broj X nezavisnih
jednako distribuiranih Bernoullijevi pokusa s vjerojatnosti uspjeha θ do uključivo k-tog
uspjeha je slučajna varijabla koja ima negativnu binomnu razdiobu s parametrima k i θ,
0 < θ < 1. Vrijedi:
( )
x − 1
f X (x) = θ k (1 − θ) x−k za x ∈ ImX = {k, k + 1, . . .},
k − 1
E[X] = k θ , Var[X] = k 1 − θ
θ 2 .
Za računanje funkcije vjerojatnosti f X (x) = P(X = x) koristi se rekurzivna relacija
f X (x) = x − 1
x − k (1 − θ)f X(x − 1), za x = k + 1, k + 2, . . . i f X (k) = θ k .
Negativna binomna slučajna varijabla X može se prikazati kao zbroj k nezavisnih jednako
distribuiranih geometrijskih slučajnih varijabli od kojih svaka predstavlja vrijeme čekanja
izmedu dva uspjeha.
Kao u slučaju geometrijske razdiobe, negativna binomna slučajna varijabla može se
definirati i kao broj neuspjeha do k-tog uspjeha. Označimo tu varijablu sa Y . Tada je
Y = X − k i
( )
k + x − 1
f Y (x) =
θ k (1 − θ) x za x ∈ ImY = {0, 1, 2, . . .},
k − 1
Hipergeometrijska distribucija
E[Y ] = k 1 − θ , Var[Y ] = k 1 − θ
θ
θ 2 .
Promotrimo sljedeći primjer. Od N kuglica u kutiji, njih K su bijele, a ostale su crne. Na
slučajan način izvlačimo jednu za drugom n kuglica bez vraćanja. Uspjeh je kada izvučemo
bijelu kuglicu. Pretpostavimo da je n ≤ K ≤ N i označimo sa X ukupan broj bijelih
kuglica medu n izvučenih. Drugim riječima, X je ukupan broj uspjeha tijekom izvodenja n
24