Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

gdje su ˆθ 1 = X 1 /n 1 i ˆθ 2 = X 2 /n 2 MLE parametara θ 1 i θ 2 . Dakle, aproksimativni 95%-
pouzdani interval za θ 1 − θ 2 je
ˆθ 1 − ˆθ 2 ± 1.96 ·
√
ˆθ1 (1 − ˆθ 1 )
n 1
+ ˆθ 2 (1 − ˆθ 2 )
n 2
.
8.4.4 Usporedba dva Poissonova parametra
Slično kao i za proporcije, razmotrit ćemo samo slučaj velikih uzoraka i konstrukcije aproksimativnih
pouzdanih intervala. Neka su ˆλ 1 = X 1 i ˆλ 2 = X 2 MLE parametara λ 1 i λ 2 dviju
populacija s Poissonovim razdiobama, a na osnovi nezavisnih uzoraka uzetih iz tih populacija.
Konstrukcija se bazira na pivotnoj veličini
(ˆλ 1 − ˆλ 2 ) − (λ 1 − λ 2 )
√ ˆλ1
n 1
+ ˆλ 2
n 2
∼: N(0, 1).
Dakle, aproksimativni 95%-pouzdani interval za λ 1 − λ 2 je
8.5 Spareni podaci
ˆλ 1 − ˆλ 2 ± 1.96 ·
√
ˆλ1
n 1
+ ˆλ 2
n 2
.
Spareni su podaci uobičajen primjer zavisnih uzoraka. Pretpostavimo da imamo slučajan
uzorak iz dvodimenzionalne razdiobe vektora (X, Y ):
(X 1 , Y 1 ), (X 2 , Y 2 ), . . . , (X n , Y n ).
Interpretacija varijabli X i i Y i u paru (X i , Y i ) je da su to po tipu iste varijable, X i se mjeri
prije nečega, recimo nekog tretmana, a Y i nakon tretmana, na istoj statističkoj jedinici i
(i = 1, 2, . . . , n). Zbog toga je prirodno na sparene podatke gledati kao na jedan dvodimenzionalan
uzorak, a ne kao na dva odvojena uzorka (X 1 , X 2 , . . . , X 2 ) i (Y 1 , Y 2 , . . . , Y n ).
Budući da nas zanima srednji doprinos tretmana, analiziraju se razlike D i := X i − Y i ,
i = 1, 2, . . . , n. Dakle, ako sa D := X − Y označimo varijablu čiju populacijsku srednju
vrijednost µ D := µ 1 − µ 2 želimo procijeniti, tada je baza za procjenu izvedeni slučajni
uzorak D = (D 1 , D 2 , . . . , D n ).
Ako je D uzorak iz normalno distribuirane populacije, tada je pivotna veličina za konstrukciju
pouzdanih intervala za µ D :
Dakle, 95%-pouzdani interval za µ D je
D − µ d
S D
√ n ∼ t(n − 1).
D ± t 0.025 (n − 1) S D
√ n
.
Za velike n je t 0.025 (n − 1) ≈ 1.96. U tom slučaju navedeni interval dobro aproksimira
95%-pouzdani interval za µ D i ako populacija nije normalno distribuirana.
76