Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

11.2 Analiza sredina tretmana
Pretpostavimo da nas zanima samo populacijsko očekivanje µ + τ i varijable Y za tretman
i (i = 1, 2, . . . , k). Pouzdani se interval za taj parametar konstruira pomoću studentizirane
verzije statistike Y i. , a na osnovi sveukupnih podataka u uzorku. Dakle, 95%-pouzdan
interval za µ + τ i je
Y i. ± t 0.025 (n − k) √ ˆσ .
ni
Želimo li usporedivati parametre očekivanja dviju (od k različitih) potpopulacija, recimo
za tretmane i i l (i, l ∈ {1, 2, . . . , k} i i ≠ l), tada to činimo pomoću razlike Y i. −Y l. njihovih
procjenitelja. Vrijedi:
Var[Y i. − Y l. ] = σ 2 ( 1 n i
+ 1 n l
).
95%-pouzdani interval za parametar τ i − τ l je
Y i. − Y l. ± t 0.025 (n − k)ˆσ√
1
n i
+ 1 n l
.
Konstrukcija 95%-pouzdanih intervala za sve moguće razlike parametara očekivanja
tretmana nije preporučljiva jer je vjerojatnost istovremenog pokrivanja svih takvih intervala
(a time i pouzdanost takve kombinacije intervala) manja od 0.95. S druge strane, budući
da F -test kojim se testira nulhipoteza
H 0 : τ i = 0 za sve i = 1, 2, . . . , k,
u slučaju odbacivanja te hipoteze, ne kaže koje se dvije (ili više) srednjih vrijednosti tretmana
značajno razlikuje, sasvim je prirodno zapitati se za koje grupe tretmana se njihove
srednje vrijednosti značajno ne razlikuju. Način na koji se takve grupe odreduju ilustrirat
ćemo na primjeru.
Primjer 11.2 Na osnovi podataka iz primjera 11.1 odbacili smo nulhipoteza o homogenosti
srednjih vrijednosti osiguranih svota polica osiguranja privatnih kuća u tri osiguravajuća
društva. Želimo utvrditi koje se grupe osiguravajućih društava značajno razlikuju po srednjim
vrijednostima izučavane varijable osigurane svote. Prvo, uredimo procjene tih srednjih
vrijednosti po veličini:
ȳ B. < ȳ A. < ȳ C. .
Zatim promotrimo prvi par po veličini u gornjem uredenom nizu. To su ȳ B. < ȳ A. . Za
zadanu razinu značajnosti, recimo 5%, izračunajmo najmanju razliku izmedu ȳ A. i ȳ B. za
koju će razlika τ A − τ B biti značajno različita od nule. Ta razlika je
t 0.025 (n − k)ˆσ
√
1
n A
+ 1
n B
= 2.064 · √46.44
·
√ 1
10 + 1 8 = 6.67.
Budući da je ȳ A. − ȳ B. = 3.9 < 6.67, µ + τ B i µ + τ A se značajno ne razlikuju. Tu činjenicu
možemo grafički predočiti podcrtavanjem njihovih procjena:
ȳ B. < ȳ A. < ȳ C. .
Sada isti postupak ponovimo na sljedećem paru u uredenom nizu: ȳ A. < ȳ C. . Uz istu razinu
značajnosti, najmanja razlika uz koju će razlika τ C − τ A biti značajno različita od nule je:
√
1
t 0.025 (n − k)ˆσ + 1 = 2.064 · √46.44 √ 1
·
n C n A 9 + 1 10 = 6.46.
104