Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

Cramer-Raova donja granica. Primijetite da je slučajna variabla ∂ ∂θ
log f(X|θ) dobijena
kao kompozicija funkcije x ↦→ ∂ ∂θ
log f(x|θ) i varijable X. Taj rezultat vrijedi pod vrlo
općenitim uvjetima na populacijsku razdiobu. Jedina bitna restrikcija je da ImX ne smije
ovisiti o θ. Nadalje, pokazuje se da je pod skoro istim uvjetima Cramer-Raova donja granica
najmanja asimptotska varijanca koju konzistentan procjenitelj može imati. Kažemo da je
uz te uvjete MLE asimptotski efikasan procjenitelj parametara.
Cramer-Raovu donju granicu možemo izraziti i pomoću slučajne log-vjerodostojnosti
l(θ|X) = ∑ n
i=1 log f(X i |θ):
1
CRlb =
E[( ∂l
∂θ (θ|X))2 ] = 1
−E[ ∂2 l
(θ|X)] .
∂θ 2
Asimptotski rezultat (7.2) koristi se za konstrukciju aproksimativnih pouzdanih intervala.
7.6 Završne napomene
Općenito se smatra da je metoda maksimalne vjerodostojnosti bolja od metode momenata.
Naime, procjenitelji dobiveni metodom momenata su uvijek funkcije uzoračkih momenata
što je veliko ograničenje na klasu procjenitelja. Nadalje, ta metoda može dovesti do neprihvatljivih
procjenitelja u smislu da procjene mogu biti izvan područja razumnih vrijednosti
parametara. S druge strane, u primjenama na najčešće modele razdioba (binomni, Poissonov,
eksponencijalni, normalni model), obje metode daju iste procjenitelje.
U nekim situacijama, na primjer u slučaju gama razdiobe Γ(α, β) kada su oba parametra
nepoznata, metoda momenta je u prednosti jer daje procjenitelje na jednostavan način i u
eksplicitnoj formi, dok se MLE mora računati numeričkim metodama.
68