Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

Poglavlje 8
Pouzdani intervali
Pouzdanim intervalim mjeri se točnost (preciznost) procjenitelja. Neka je X slučajni uzorak
iz populacije s jednodimenzionalnim parametrom θ. (1 − α) · 100%-pouzdan interval za θ
je slučajni interval [ˆθ 1 (X), ˆθ 2 (X)] takav da je
P(ˆθ 1 (X) ≤ θ ≤ ˆθ 2 (X)) = 1 − α.
Kažemo da je vjerojatnost pokrivanja intervala [ˆθ 1 (X), ˆθ 2 (X)] jednaka 1−α. U primjenama
se najčešće koriste 95%-pouzdani intervali (α = 0.05). Dakle, 95%-pouzdani intervali za θ
[ˆθ 1 (X), ˆθ 2 (X)] odredeni su vjerojatnošću pokrivanja od 0.95:
P(ˆθ 1 (X) ≤ θ ≤ ˆθ 2 (X)) = 0.95.
Primijetite da ovdje θ predstavlja pravu (dakle, ne slučajnu) vrijednost parametra, dok
su granice pouzdanog intervala statistike. 95%-pouzdan interval interpretiramo na sljedeći
način. U 95% svih realizacija tog intervala, prava vrijednost od θ će se nalaziti unutar
njihovih granica, a u 5% realizacija to neće biti slučaj. Ovdje se riječ “svih” odnosi na vrlo
velik broj realizacija (opažaja).
Pouzdan interval nije jedinstven. Općenito, konstruira se pomoću uzoračke distribucije
dobrog procjenitelja parametra, na primjer, pomoću MLE. I u tom slučaju treba izabrati
izmedu jednostranog ili dvostranog pouzdanog intervala, jednakorepnog i/ili najkraće
duljine. U slučaju simetrične uzoračke distribucije oko prave vrijednosti parametra, jednakorepni
i pouzdani intervali najkraće duljine se podudaraju.
8.1 Konstrukcija pouzdanih intervala
8.1.1 Pivotna metoda
Opća metoda konstrukcije pouzdanih intervala zove se pivotna metoda. Osnovna pretpostavka
za primjenu te metode je da postoji pivotna veličina g(X, θ) sa sljedećim svojstvima:
1. funkcija je uzorka i parametra;
2. njen zakon razdiobe je poznat;
3. strogo je monotona kao funkcija po parametru.
Budući da je razdioba od g(X, θ) poznata, odredimo brojeve g 1 , g 2 tako da vrijedi:
P(g 1 ≤ g(X, θ) ≤ g 2 ) = 0.95. (8.1)
69