Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

Poglavlje 3
Funkcije izvodnice
3.1 Funkcije izvodnice vjerojatnosti
Neka je X diskretna slučajna varijabla s vrijednostima u skupu prirodnih brojeva s nulom.
Takvu varijablu zvat ćemo brojeća slučajna varijabla. Označimo sa p 0 , p 1 , itd. vjerojatnosti
dogadaja {X = 0}, {X = 1}, itd., dakle,
p k := P(X = k) = f X (k), k = 0, 1, . . .
Tada je funkcija izvodnica vjerojatnosti od X, kraće f.i.v., realna funkcija G X definirana sa
G X (t) := E[t X ] = p 0 + p 1 t + p 2 t 2 + · · · ,
za one realne brojeve t za koje to očekivanje postoji. Uvijek vrijedi
G X (1) = 1, G X (0) = p 0 = P(X = 0).
Primijetite da red potencija iz definicije f.i.v. apsolutno konvergira za sve t ∈ R za koje je
|t| ≤ 1. F.i.v. je jedinstvena u smislu da dvije brojeće slučajne varijable X i Y imaju iste
f.i.v ako i samo ako su X i Y po distribuciji jednake, tj. ako je
f X (x) = f Y (x) za sve x ∈ {0, 1, . . .}.
Primjer 3.1 Ako X ima uniformnu razdiobu na {1, 2, . . . , k}, tada joj je f.i.v.
G X (t) = 1 k (t + t2 + · · · + t k ) = t(1 − tk )
k(1 − t)
ako t ≠ 1.
Primjer 3.2 Ako X ima binomnu razdiobu s parametrima (n, θ), tada joj je f.i.v.
(
n∑ n
G X (t) = t
k)
k θ k (1 − θ) n−k = (θt + 1 − θ) n .
k=0
Primjer 3.3 Za negativnu binomnu varijablu X s parametrima (k, θ), f.i.v. je
( )
∞∑
(
) m − 1
G X (t) =
t m θ k (1 − θ) m−k θt k
=
,
k − 1
1 − t(1 − θ)
m=k
pri čemu red apsolutno konvergira za |t(1 − θ)| < 1.
32