Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

Primjer 1.8 Aritmetička sredina podataka iz primjera 1.3 je:
¯x =
8 · 0 + 12 · 1 + 28 · 2 + 19 · 3 + 7 · 4 + 4 · 5 + 1 · 6 + 1 · 7
8 + 12 + 28 + 19 + 7 + 4 + 1 + 1
= 186
80 = 2.325.
1.6.2 Medijan
Neka je X numerička ili ordinalna varijabla. Tada je njene vrijednosti (1.1) moguće urediti:
x (1) ≤ x (2) ≤ · · · ≤ x (n) . (1.5)
Medijan skupa podataka (1.1) je vrijednost od X za koju vrijedi da je 50% svih podataka u
skupu manje od ili jednako toj vrijednosti i 50% svih podataka je veće od nje ili jednako joj.
Kada je broj podataka n u (1.1) (odn. (1.5)) neparan broj, n = 2k − 1, medijan m od (1.1)
je jednak x (k) . U stvari, to je vrijednost koja se nalazi u sredini niza (1.5). Dakle, medijan
se može odrediti za neparne skupove ordinalnih podataka. Uz takvu općenitost teško je
odrediti medijan parnog skupa podataka. Zato pretpostavimo da su (1.1) numerički podaci.
Tada je medijan skupa s parnim brojem podataka n = 2k jednak m = (x (k) + x (k+1) )/2, tj.
aritmetičkoj sredini dva srednja broja u (1.5).
Primjer 1.9 Medijan uzorka iz primjera 1.3 je
m = x (40) + x (41)
2
= 2 + 2
2
= 2.
1.6.3 Mod
Mod je vrijednost obilježja X koja su u skupu podataka (1.1) pojavljuje najviše puta, dakle,
ima najveću frekvenciju. Mod se može opisati i kao najtipičnija vrijednost promatrane
varijable. Na primjer, osiguravajuće društvo može zanimati najtipičnija vrsta osiguranika
po zanimanju. Jasno je da mod općenito ne mora postojati.
Primjer 1.10 Mod uzorka iz primjera 1.3 je 2 jer ta vrijednost ima najveću frekvenciju
(28). Dakle, najtipičnija obitelj (u uzorku) ima dvoje djece mlade od 16 godina.
1.7 Mjere raspršenja
Uz mjere lokacije, odnosno srednje vrijednosti skupa podataka, važno svojstvo distribucije
tih podataka je i kako su podaci raspršeni, često u odnosu na neku srednju vrijednost.
1.7.1 Standardna devijacija
Najčešće korištena mjera raspršenja skupa numeričkih podataka je standardna devijacija.
Standardna devijacija je srednje kvadratno odstupanje podataka od njihove aritmetičke
sredine. Formulom,
√
s =
√ 1
n − 1
n∑
(x i − ¯x) 2 , (1.6)
i=1
13