Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

Primjer 4.9 Neka su X ∼ P (λ) i Y ∼ P (µ) nezavisne Poissonove slučajne varijable. Tada
za njihov zbroj Z = X + Y vrijedi:
G Z (t) = G X (t) · G Y (t) = e −λ(t−1) · e −µ(t−1) = e −(λ+µ)(t−1)
što je f.i.v. Poissonove razdiobe P (λ + µ). Dakle, Z ∼ P (λ + µ).
Neka su sada X, Y dvije nezavisne slučajne varijable sa f.i.m. M X (t) i M Y (t), i neka je
za zadane brojeve α, β, S := αX + βY . Tada je
M S (t) = E[e tS ] = E[e t(αX+βY ) ] = E[e tαX · e tβY ] (4.3)
= E[e tαX ] · E[e tβY ] = M X (αt) · M Y (βt).
U slučaju α = β = 1, za nezavisne slučajne varijable X i Y vrijedi:
M X+Y (t) = M X (t) · M Y (t). (4.19)
Slično, za Y = X 1 + X 2 + · · · + X n , gdje su X 1 , X 2 ,..., X n n nezavisnih slučajnih varijabli:
M Y (t) = M X1 (t) · M X2 (t) · · · M Xn (t). (4.20)
U slučaju da su te varijable i jednako distribuirane, vrijedi:
M Y (t) = (M X1 (t)) n . (4.21)
Primjer 4.10 Neka je X 1 , X 2 ,..., X k niz n.j.d. eksponencijalnih Exp(λ)-slučajnih varijabli.
Tada je
M Xi (t) =
λ , za t < λ, i = 1, 2, . . . , k.
λ − t
Odavde slijedi da je f.i.m. za Y = X 1 + X 2 + · · · + X k jednaka
M Y (t) =
( λ
) k
λ − t
što je f.i.m. Γ(k, 1/λ)-razdiobe. Dakle, svaka se Γ(k, 1/λ)-razdioba može reprezentirati
pomoću zbroja k n.j.d. Exp(λ)-slučajnih varijabli. Budući da je E[X i ] = 1/λ i Var[X i ] =
1/λ 2 , E[Y ] = k/λ i Var[Y ] = k/λ 2 . U interpretaciji, vrijeme do pojave k-tog dogadaja u
Poissonovom procesu s intenzitetom λ je zbroj od k meduvremena pojavljivanja individualnih
dogadaja.
Općenito, neka su X ∼ Γ(α, 1/λ) i Y ∼ Γ(β, 1/λ) nezavisne slučajne varijable i Z = X +Y .
Tada je
( ) λ α ( ) λ β ( ) λ α+β
M Z (t) = M X (t) · M Y (t) = · =
,
λ − t λ − t λ − t
dakle, Z ∼ Γ(α + β, 1/λ). Odavde slijedi da ako su X ∼ χ 2 (n) i Y ∼ χ 2 (m) nezavisne
slučajne varijable, da je tada X + Y ∼ χ 2 (n + m).
Primjer 4.11 Neka su X ∼ N(µ X , σX 2 ) i Y ∼ N(µ Y , σY 2 ) nezavisne normalne slučajne
varijable i Z = X + Y njihov zbroj. Tada je:
M Z (t) = M X (t) · M Y (t) = e µ Xt+ σ2 X
2 t 2 · e µ Y t+ σ2 Y
2 t 2 = e (µ X+µ Y )t+ (σ2 X +σ2 Y )
2 t 2
što je f.i.v. normalne razdiobe N(µ X +µ Y , σ 2 X +σ2 Y ). Dakle, zbroj dviju nezavisnih normalno
distribuiranih slučajnih varijabli je opet normalna slučajna varijabla Z ∼ N(µ X +µ Y , σ 2 X +
σ 2 Y ). 46