Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

Ako bi htjeli sprovesti dvostrani test iste osnovne hipoteze (ali drugačije, tzv. dvostrane
alternative):
H 0 : µ = µ 0 , H 1 : µ ≠ µ 0 ,
tada bi koristili istu testnu statistiku, ali bi kritično područje bila unija dva simetrična
intervala:
⟨−∞, −t 0.025 (n − 1)] ∪ [t 0.025 (n − 1), +∞⟩.
Dakle, H 0 bi odbacili u korist dvostrane alternative (uz rizik od 5%) ako bi za opaženu
vrijednost t testne statistike T vrijedilo da je |t| ≥ t 0.025 (n − 1).
9.2.2 p-vrijednosti
Klasičan pristup u kojemu se za zadanu razinu značajnosti donosi odluka odbaciti ili ne
odbaciti H 0 u odnosu na zadanu alternativu, ne daje informacije o tome koliko su jaki argumenti
za odbacivanje ili ne odbacivanje H 0 . Puno je informativniji pristup u kojemu se uz
vrijednost testne statistike računa i izražava njena p-vrijednost. p-vrijednost je vjerojatnost
pogreške prve vrste u odnosu na kritično područje kojemu je opažena vrijednost testne statistike
granična vrijednost. Drugim riječima, p-vrijednost je najmanja razina značajnosti
uz koju bi H 0 bila odbačena u korist zadane alternative H 1 , uz vrijednost testne statistike
koja je opažena. Dakle, što je p-vrijednost manja to su dokazi protiv H 0 jači.
Primjer 9.2 Za jednostrani test iz primjera 9.1 i opaženu vrijednost t testne statistike T ,
p-vrijednost je
P(T ≤ t|H 0 ) =
∫t
−∞
f t(n−1) (u) du,
gdje je f t(n−1) gustoća Studentove t(n − 1)-razdiobe. p-vrijednost za dvostrani test s istom
nulhipotezom je
P(|T | ≥ |t| |H 0 ) =
−|t| ∫
−∞
f t(n−1) (u) du+
+∞ ∫
jer je t-razdioba simetrična oko nule.
|t|
f t(n−1) (u) du = 2·P(T ≤ −|t| |H 0 ) = 2·P(T ≥ |t| |H 0 ),
Primjer 9.3 Opažena vrijednost binomne varijable X s parametrima (n = 200, θ) je x =
82. Želimo testirati H 0 : θ = 0.5, H 1 : θ = 0.4.
Za testnu statistiku uzet ćemo upravo X. Budući da bi kritično područje trebali tražiti
medu manjim vrijednostima od ImX (dakle, u smjeru lijevog repa razdiobe od X pod H 0 ),
p-vrijednost je
P(X ≤ 82|H 0 ) = P(X < 82.5|H 0 ) = P(Z <
82.5 − 100
√
50
) ≈ Φ(−2.475) = 0.0067.
Dakle, H 0 je vrlo nevjerodostojna pretpostavka. Drugim riječima, imamo jak dokaz protiv
H 0 , a u korist H 1 .
Statističkim testom ne dokazujemo istinitost hipoteza. Neodbacivanje H 0 ne znači da
je ta hipoteza stvarno istinita već samo da nemamo jake dokaze protiv nje. Jedino se u tom
smislu može reći da prihvaćamo H 0 . Naime, takav stav prema “prihvaćanju” H 0 proizlazi
iz činjenice da je H 0 vrlo precizna tvrdnja (uglavnom jednostavna hipoteza), pa kao takva
gotovo sigurno nije istinita.
80