Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

Primjer 4.3 Za slučajni vektor (X, Y ) iz primjera 4.1, uvjetna gustoća od X uz dano
Y = 3 je dana tablicom:
x 1 2 3 4 5 6
4
f X|Y (x|3) 0 0
7
Formula za istu uvjetnu gustoću:
Na primjer,
f X|Y (x|3) = f X,Y (x, 3)
f Y (3)
= f X,Y (x, 3)
7
36
f X|Y (4|3) = 36f X,Y (x, 3)
7
1
7
1
7
1
7
= 36f X,Y (x, 3)
, x = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
7
= 36 · 1
36
7
= 1 7 .
Ako je (X, Y ) neprekidan slučajni vektor sa zajedničkom gustoćom f X,Y i marginalnim
gustoćama f X , f Y , te ako je f Y (y) > 0 za y ∈ ImY , tada je uvjetna gustoća od X za dano
Y = y funkcija x ↦→ f X|Y (x|y) dana sa
f X|Y (x|y) := f X,Y (x, y)
, x ∈ R.
f Y (y)
To je ujedno funkcija gustoće neprekidne vjerojatnosne razdiobe koja odgovara uvjetnoj
distribuciji od X uz dano Y = y. Naime, neka je sa P(a ≤ X ≤ b|Y = y) označena uvjetna
vjerojatnost da će X poprimiti vrijednosti u intervalu [a, b] uz dano Y = y. Tada je
P(a ≤ X ≤ b|Y = y) :=
∫b
a
f X|Y (x|y) dx.
Primijetite da se lijeva strane gornje jednakosti ne računa po formuli za uvjetnu vjerojatnost
danu formulom (2.2) (jer je to nemoguće zbog P(Y = y) = 0) iako ima istu interpretaciju.
Analogno se definira uvjetna gustoća od Y uz dano X = x.
4.4 Nezavisnost slučajnih varijabli
Neka je (X, Y ) slučajni vektor sa zajedničkom gustoćom f X,Y i marginalnim gustoćama
f X , f Y . Da uvjetna razdioba od Y za dano X = x ne ovisi o x za sve x, znači da je uvjetna
razdioba jednaka marginalnoj, dakle, da vrijedi
f Y |X (y|x) = f Y (y) za sve y ∈ ImY i sve x ∈ ImX za koje je f X (x) > 0. (4.1)
Odavde odmah slijedi, po definiciji uvjetne gustoće, da je
f X,Y (x, y) = f X (x) · f y (y) za sve y ∈ ImY, x ∈ ImX. (4.2)
Opet, po definiciji uvjetne gustoće, ako vrijedi (4.2), tada ni uvjetna razdioba od Y uz dano
Y = y ne ovisi o y za sve y. Po definiciji kažemo da su slučajne varijable X i Y nezavisne
ako vrijedi (4.2).
U slučaju diskretnih slučajnih varijabli X i Y , (4.2) je ekvivalentno sa
odnosno, uz oznake kao u 4.1,
P(X = x, Y = y) = P(X = x) · P(Y = y) za sve x, y,
p ij = P(X = a i ) · P(Y = b j ) za sve i, j.
Dakle, p ij se dobije kao produkt pripadnih vjerojatnosti na margini.
40