Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

Koristeći identitete
S 2 = 1
n − 1
n∑
Xi 2 −
i=1
računamo matematičko očekivanje od S 2 :
E[S 2 ] =
Dakle,
=
=
=
1
n∑
E[Xi 2 ] −
n
n − 1
n − 1 E[X2 ]
i=1
1
n∑
(Var[X i ] + E[X i ] 2 ) −
n − 1
i=1
1
n − 1 · n(σ2 + µ 2 ) −
1
n − 1 · (n − 1)σ2 = σ 2 .
n
n − 1 X2 , E[Y 2 ] = Var[Y ] + E[Y ] 2 ,
(linearnost očekivanja)
n
n − 1 (Var[X] + E[X]2 ) =
n
n − 1 (σ2 n + µ2 ) (jednaka distribuiranost, (6.1), (6.2))
E[S 2 ] = σ 2 . (6.3)
Varijancu te statistike izračunat ćemo u sljedećem potpoglavlju samo u jednom specijalnom,
ali važnom, slučaju: za uzorke iz normalno distribuiranih populacija.
6.3 Uzoračke razdiobe statistika normalnog uzorka
Neka je X = (X 1 , X 2 , . . . , X n ) slučajni uzorak duljine n iz populacije s normalnom distribucijom
(kraće, normalne populacije) N(µ, σ 2 ).
6.3.1 Uzoračka sredina
Zbog svojstva invarijantnosti normalne razdiobe na linearne kombinacije nezavisnih normalno
distribuiranih slučajnih varijabli, X ima normalnu (uzoračku) razdiobu, preciznije:
X ∼ N(µ, σ2
n ).
Prema tome, sandardizirana verzija Z od X ima jediničnu normalnu razdiobu:
Z = X − µ √ n ∼ N(0, 1).
σ
Usporedimo li taj zaključak sa CGT-om, vidimo da u slučaju normalno distribuiranog
uzorka, konvergencija standardiziranih verzija aritmetičkih sredina iz CGT-a prelazi u i-
dentitet.
6.3.2 Uzoračka varijanca
Za uzoračku varijancu S 2 normalnog uzorka vrijedi da je
(n − 1)S 2
σ 2 ∼ χ 2 (n − 1).
57