Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

Ta veličina je studentizirana verzija uzoračke sredine za koju znamo da za normalnu populaciju
ima Studentovu t-distribuciju sa n − 1 stupnjem slobode (n je veličina uzorka) i očito
je strogo padajuća po µ:
X − µ √ n ∼ t(n − 1).
S
Rezultirajući 95%-pouzdani interval za µ najkraće duljine je
X ± t 0.025 (n − 1) ·
S
√ n
, (8.2)
gdje je t 0.025 (n − 1) tablična kritična vrijednost opisana u 6.3. Budući da je za velike k
t(k) ∼: N(0, 1), za velike uzorke možemo uzeti t 0.025 (n−1) ≈ 1.96. Normalna distribuiranost
populacije je bitna pretpostavka da bi sa (8.2) bio dan 95%-pouzdan interval za parametar
očekivanja, pogotovo za male uzorke. S druge strane, pokazuje se da je taj interval robustan
za populacijske distribucije koje odstupaju od normalnosti, pogotovo za velike uzorke.
Normalnost uzorka se može provjeriti uvidom u, na primjer, dijagram točaka. Na taj se
način može detektirati velika asimetrija i prisustvo tzv. “outliera” (stršećih vrijednosti) koje
mogu bitno utjecati na analizu.
8.2.2 Populacijska varijanca
Za konstrukciju pouzdanih intervala za parametar varijance σ 2 (i standardne devijacije σ)
koristimo statistiku
(n − 1)S 2
σ 2 ∼ χ 2 (n − 1)
za pivotnu veličinu. Rezultirajući jednakorepni 95%-pouzdani intervali su:
za σ 2 :
[
(n − 1)S
2
(n − 1)S 2 ]
χ 2 0.025 (n − 1), χ 2 0.975 (n − 1) , za σ :
[√ √ ]
(n − 1)S 2 (n − 1)S 2
χ 2 0.025 (n − 1), χ 2 0.975 (n − 1) ,
gdje su tablične kritične vrijednosti χ 2 0.025 (k) i χ2 0.975 (k) definirane na sličan načina kao
kritične vrijednosti za t i F -razdiobu u poglavlju 6 1 . Primijetite da zbog pozitvne asimetrije
od χ 2 -razdiobe ti intervali nisu simetrični oko procjena, pa ne moraju biti najmanje duljine.
Za konstrukciju ovih pouzdanih intervala, normalna distribuiranost populacije je bitna
pretpostavka za relativno male uzorke. Slično kao i u slučaju pouzdanih intervala za parametar
očekivanja, i ovi intervali su robustni na odstupanja populacije od normalnosti za
dovoljno velike uzorke.
8.3 Pouzdani intervali za parametre binomne i Poissonove
razdiobe
Budući da su binomna i Poissonova diskretne razdiobe, nije uvijek moguće postići da vjerojatnost
pokrivanja (1 − α) · 100%-pouzdanog intervala [ˆθ 1 (X), ˆθ 2 (X)] za neki njihov parametar
θ bude točno jednaka 1 − α. Zato je dovoljno zahtjevati da iznosi barem 1 − α:
P(ˆθ 1 (X) ≤ θ ≤ ˆθ 2 (X)) ≥ 1 − α.
1 Općenito, χ 2 α(k) je (1 − α)-kvantil χ 2 -razdiobe s k stupnjeva slobode, odnosno P(χ 2 α(k) ≥ H) = α ako
je H ∼ χ 2 (k).
72