Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

je nepristrani procjenitelj za varijancu pogrešaka σ 2 .
Želimo testirati nulhipotezu da su populacijska očekivanja tretmana jednaka, tj. da
tretmani nemaju utjecaja na populacijsko očekivanje od Y , u odnosu na alternativu da to
nije tako. Dakle,
H 0 : τ i = 0 za svaki i = 1, 2, . . . , k, H 1 : τ i ≠ 0 za barem jedan i od 1, 2, . . . , k.
11.1.3 Rastav varijance
Ukupna se uzoračka varijabilnost može rastaviti na dvije komponente. Jednu komponentu
čini varijabilnost unutar svakog od poduzoraka odredenih pojedinim tretmanom, a drugu
varijabilnost do koje dolazi zbog razlika medu tretmanima, preciznije, izmedu njihovih
uzoračkih sredina. Naime, vrijedi
Ako označimo sa
k∑ ∑n i
k∑
(Y ij − Y .. ) 2 ∑n i
k∑
= (Y ij − Y i. ) 2 + n i (Y i. − Y .. ) 2 .
i=1 j=1
i=1 j=1
i=1
SSTOT :=
SST :=
SSE :=
k∑ ∑n i
(Y ij − Y .. ) 2 (ukupnu sumu kvadrata)
i=1 j=1
k∑
n i (Y i. − Y .. ) 2 (sumu kvadrata zbog razlike medu tretmanima)
i=1
k∑ ∑n i
(Y ij − Y i. ) 2 (sumu kvadrata pogrešaka ili reziduala),
i=1 j=1
tada se gornja relacija može zapisati i na način:
SSTOT = SSE + SST.
Primijetite da je ˆσ 2 = SSE/(n − k). Statistiku ˆσ 2 još označavamo sa MSE i zovemo
srednjekvadratna greška. Slično, statistiku MST := SST/(k − 1) zovemo srednjekvadratno
odstupanje zbog tretmana.
Ako vrijedi nulhipoteza H 0 , tada je SSTOT/(n−1) uzoračka varijanca združenog uzorka
koji reprezentira jednu normalno distribuiranu populaciju, pa je SSTOT/σ 2 ∼ χ 2 (n−1). U
tom slučaju može se pokazati da su statistike MSE i MST nezavisne i SST/σ 2 ∼ χ 2 (k − 1).
Primijetite da je tada MST takoder nepristrani procjenitelj za σ 2 . Dakle, testna statistika
je
F = MST H ∼
0
F (k − 1, n − k).
MSE
H 0 odbacujemo ako je opažena vrijednost f testne statistike F prevelika.
Razultati izračuna opaženih vrijednosti navedenih statistika prikazuju se u ANOVAtablici:
izvor varijabilnosti stupnjevi slobode sume kvadrata srednji kvadrati test-stat.
zbog tretmana k − 1 SST MST f
slučajne greške n − k SSE MSE —
ukupno n − 1 SSTOT — —
101