Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

5.2.3 Gama razdioba
Neka je X 1 , X 2 ,..., X n niz n.j.d. Exp(λ)-distribuiranih slučajnih varijabli. Dakle,
µ = E[X i ] = 1 λ , σ2 = Var[X i ] = 1 λ 2 ,
pa je prema CGT-u za X = ∑ n
i=1 X i ∼ Γ(k, 1/λ),
Slično,
X ∼: N( n λ , n ) za velike n.
λ2 χ 2 (n) ≡ Γ( n , 2) ∼: N(n, 2n) za veliki broj stupnjeva slobode n.
2
5.3 Korekcija zbog neprekidnosti
Na primjer, u slučaju aproksimacije binomne ili Poissonove razdiobe normalnom, diskretnu
razdiobu aproksimiramo neprekidnom razdiobom. Iako je za diskretnu slučajnu varijablu
X sasvim legitimno računati vjerojatnosti diskretnih dogadaja oblika {X = x}, u slučaju
neprekidnih varijabli, te vjerojatnosti su uvijek jednake nula. Dakle, problem je kako
računati aproksimativne vrijednosti vjerojatnosti takvih dogadaja pomoću neprekidnih razdioba.
Rješenje je da se svaka cjelobrojna vrijednost tretira kao da je dobivena zaokruživanjem
varijable na najbliži cijeli broj, odnosno da se zapis dogadaja pomoću diskretnih
vrijednosti izrazi u ekvivalentnom obliku izraženom pomoću poprimanja vrijednosti varijable
u intervalu. Na primjer, sljedeći dogadaji su ekvivalentni:
{X = 4} = {3.5 < X < 4.5}
{X > 15} = {X > 15.5}
{X ≥ 15} = {X > 14.5}.
Kažemo da radimo korekciju zbog neprekidnosti.
Primjer 5.1 Neka je X ∼ P (20). Izračunajmo P(X ≤ 15) egzaktno i pomoću normalne
aproksimacije X ∼: N(20, 20) i usporedimo rezultate. Egzaktnu vrijednost vjerojatnosti
navedenog dogadaja možemo očitati iz tablica za Poissonovu razdiobu ili izračunati po
formuli
P(X ≤ 15) =
15∑
k=0
f X (k)
gdje su vjerojatnosti f X (k) (k = 0, 1, . . . , 15) izračunate pomoću rekurzivne relacije:
f X (k) = λ k f X(k − 1), za k ≥ 1 i uz početnu vrijednost f X (0) = e −λ ,
za λ = 20. Izlazi da je egzatno P(X ≤ 15) = 0.15651. Pomoću normalne aproksimacije
račun je jednostavniji:
P(X ≤ 15) = P(X < 15.5) (korekcija zbog neprekidnosti)
= P( X √ − 20 15.5 − 20
< √ ) = P(Z < −1.006) (standardizacija)
20 20
≈ Φ(−1.006) (normalna aproksimacija)
= 1 2 − Φ 0(1.006) = (tablice) = 0.15721.
Pogreška je |0.15721 − 0.15651| = 0.0007, odnosno relatina pogreška je 0.0007/0.15651 =
0.45%.
54