Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

4.8 Konvolucije
Neka su X i Y slučajne varijable sa zajedničkom gustoćom f X,Y i Z = X + Y njihov
zbroj što je takoder slučajna varijabla. Ako je vektor (X, Y ) diskretan, tada je Z diskretna
slučajna varijabla s funkcijom gustoće
f Z (z) = P(Z = z) = P(
= ∑
x∈ImX
∪
x∈ImX
f X,Y (x, z − x).
{X = x, Y = z − x})
Ako su X, Y nezavisne slučajne varijable, tada je
f Z (z) =
∑
x∈ImX
(P 3)
= ∑
x∈ImX
P(X = x, Y = z − x) =
f X (x)f Y (z − x), z ∈ R. (4.12)
Funkciju f Z izraženu u formi (4.12) zovemo konvolucijom funkcija f X i f Y , i pišemo
f Z = f X ∗ f Y .
Dakle, gustoća zbroja nezavisnih slučajnih varijabli jednaka je konvoluciji njihovih gustoća.
U slučaju da su X, Y neprekidne slučajne varijable, gustoća njihovog zbroja Z = X + Y je
f Z (z) =
Ako su X i Y nezavisne, tada je
f Z (z) =
+∞ ∫
−∞
+∞ ∫
−∞
f X,Y (x, z − x) dx, z ∈ R.
f X (x)f Y (z − x) dx, z ∈ R. (4.13)
Ta funkcija je takoder konvolucija funkcija f X i f Y .
Konvolucija više funkcija f 1 , f 2 ,..., f n definira se rekurzivno:
f 1 ∗ f 2 ∗ · · · ∗ f n := (f 1 ∗ f 2 ∗ · · · ∗ f n−1 ) ∗ f n .
Može se pokazati da je gustoća zbroja n nezavisnih slučajnih varijabli jednaka konvoluciji
njihovih gustoća. Ako su pri tome svih n varijabli jednako distribuirane s gustoćom f, tada
se n-terostruka konvolucija tih funkcija označava sa f n∗ . Dakle, f n∗ je gustoća zbroja od n
nezavisnih jednako distribuiranih (kraće n.j.d.) slučajnih varijabli sa gustoćom f. Funkciju
distribucije zbroja od n n.j.d. slučajnih varijabli X 1 , X 2 ,..., X n sa funkcijom distribucije F
označavamo sa F n∗ :
F n∗ (x) := P(X 1 + X 2 + · · · + X n ≤ x), x ∈ R.
4.9 Razdiobe linearnih kombinacija nezavisnih slučajnih varijabli
pomoću funkcija izvodnica
Neka su X 1 , X 2 ,..., X n nezavisne slučajne varijable i α 1 , α 2 ,..., α n realni brojevi. Za njihovu
linearnu kombinaciju
Y = α 1 X 1 + α 2 X 2 + · · · + α n X n ,
44