Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

Primjer 7.7 Pretpostavimo da se u opaženom uzorku iz Exp(λ)-distribuirane populacije
nalaze vrijednosti x 1 , x 2 ,..., x n , a da se za ostalih m zna da su veće od broja y. Tada je
vjerodostojnost
n∏
n∏
L(λ) = f(x i |θ) · (P θ (X > y)) m = λe −λxi · (e −λy ) m = λ n e −λ(n¯x+my)
i=1
i=1
⇒ l(λ) = n log λ − λ(n¯x + my)
⇒ l ′ (λ) = n − (n¯x + my).
λ
Dakle, procjena za λ je rješenje:
l ′ (λ) = 0 ⇔ n λ − (n¯x + my) = 0 ⇔ ˆλ =
1
¯x + m n y .
Zapis procjenitelja ˆλ(X) je nešto složeniji. Naime, primijetite da su n i m slučajne vrijednosti
(jedino je njihov zbroj, n + m, fiksan i jednak duljini slučajnog uzorka).
Primjer 7.8 Iz 100000 polica autoodgovornosti izvučeni su podaci o štetama u jednoj
godini. Frekvencijska tablica pokazuje nam brojeve polica po kojima je bilo 1, 2, 3, 4, te 5
i više šteta.
broj šteta broj polica
0 81056
1 16174
2 2435
3 295
4 36
≥ 5 4
Σ 100000
Uz pretpostavku da se brojevi šteta po polici autoodgovornosti u godini dana ravnaju po
Poissonovom zakonu razdiobe P (λ), treba procijeniti nepoznati parametar λ. Primijetite
da se radi o nepotpunom uzorku jer za 4 vrijednosti iz razreda “≥ 5” ne znate kolike su,
ali znate da su veće od ili jednake y = 5. Budući da je
f(k|λ) = P λ (X = k) = λk
k! e−λ za k = 0, 1, . . .
P λ (X ≥ 5) = 1 − P λ (X ≤ 4) = 1 − e −λ (1 + λ + λ2
2 + λ3
6 + λ4
24 ),
vjerodostojnost, odnosno log-vjerodostojnost je
L(λ) = f 81056 (0|λ) · f 16174 (1|λ) · f 2435 (2|λ) · f 295 (3|λ) · f 36 (4|λ) · (P λ (X ≥ 5)) 4 =
=
1
2 2435 · 6 295 · 24 36 e−99996λ λ 22073 (1 − e −λ (1 + λ + λ2
2 + λ3
6 + λ4
24 ))4
l(λ) = log L(λ) = −100000λ + 22073 log λ + 4 log(e λ − (1 + λ + λ2
2 + λ3
6 + λ4
)) − C,
24
gdje je C = log(2 2435·6 295·24 36 ). Procjena ˆλ metodom ML je rješenje stacionarne jednadžbe:
l ′ (λ) = −100000 + 22073
λ
+ eλ − (1 + λ + λ2
2 + λ3
6 )
e λ − (1 + λ + λ2
2 + λ3
6 + λ4
24 ) = 0.
65