Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

Poglavlje 11
Analiza varijance
Analiza varijance se koristi u situacijama kada želimno usporedivati parametre očekivanja
više normalno distribuiranih populacija. Dakle, radi se o poopćenju problema opisanog
u potpoglavlju 9.4.1.: da li su opažene razlike izmedu sredina dvaju uzoraka slučajne ili
odražavaju stvarnu razliku izmedu populacijskih očekivanja.
Pretpostavka je da nas zanima kako k različitih tretmana djeluje na populacijsko očekivanje
neke varijable Y . Budući da se u mnogim situacijama može dogoditi da stvarni efekt
tretmana bude potisnut djelovanjem nekih vanjskih faktora koji nam nisu od interesa, važno
je kako dizajniramo uzorak. Dobar dizajn se sastoji od slučajnog (vidjeti 6.1) dodjeljivanja
tretmana ekperimentalnim jedinicama pri čemu se teži da broj jedinica podvrgnutih istom
tretmanu bude što veći. Tako dizajnirani slučajni uzorak omogućit će analizu efekata
i procjenu doprinosa raznih tretmana na parametar očekivanja promatrane varijable, a
utjecaj raznih vanjskih faktora imat će efekt slučajnog šuma.
Tehnički, analiza varijance se sastoji od rastava ukupne varijabilnosti uzorka od Y na
varijabilnost koja se može opisati utjecajem tretmana i na varijabilnost do koje dolazi zbog
slučajnog šuma. Usporedba tih komponenti varijabilnosti omogućava testiranje nulhipoteze
da promatrani tretmani ne utječu na populacijsko očekivanje od Y .
11.1 Jednofaktorska analiza varijance
11.1.1 Model
Usporedujemo djelovanje k tretmana na razdiobu varijable Y . Slučajni uzorak se sastoji od
varijabli Y ij pri čemu indeks j označava da se radi o j-toj varijabli u poduzorku duljine n i
(j = 1, 2, . . . , n i ) koji se odnosi na potpopulaciju opisanu djelovanjem i-tog tretmana (i =
1, 2, . . . , k). Dakle, slučajni uzorak ukupne duljine n = ∑ k
i=1 n i se sastoji od k nezavisnih
poduzoraka duljina n 1 ,..., n k , svaki iz populacije opisane djelovanjem jednog od k tretmana.
Opaženu vrijednost varijable Y ij označavamo sa y ij .
Matematički model je
Y ij = µ + τ i + ε ij , j = 1, 2, . . . , n i , i = 1, 2, . . . , k. (11.1)
Pretpostavka je da su slučajne greške ε ij , j = 1, 2, . . . , n i , i = 1, 2, . . . , k, nezavisne,
N(0, σ 2 )-distribuirane. Dakle, prema tom modelu, slučajne greške ne ovise o tretmanu,
varijable Y ij su nezavisne i Y ij ∼ N(µ + τ i , σ 2 ). Parametri modela su sveukupna populacijska
sredina µ za koju vrijedi da je
µ = 1 k∑ ∑n i
E[Y ij ], (11.2)
n
i=1 j=1
99