Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

Dakle, S 2 ima χ 2 -distribuciju koja je pozitivno asimetrična i čiji se koeficijent asimetrije
smanjuje povećanjem duljine uzorka (primijetite da je χ 2 (k) ∼: N(k, 2k) za velike k). Vrijedi:
(n − 1)S2
E[
σ 2 ] = E[χ 2 (n − 1)] = n − 1 ⇒ E[S 2 ] = σ 2
(n − 1)S2
Var[
σ 2 ] = Var[χ 2 (n − 1)] = 2(n − 1) ⇒ Var[S 2 ] = 2σ4
n − 1
Za obje statistike X i S 2 vrijedi da im varijance teže u nulu porastom uzorka. Budući da
je E[X] = µ i E[S 2 ] = σ 2 , to znači da X teži vrijednosti parametra µ i isto tako S 2 teži
vrijednosti parametra σ 2 kako veličina uzorka raste. To su poželjna svojstva tih statistika.
6.3.3 Nezavisnost uzoračke sredine i varijance
Sljedeće važno svojstvo uzorka iz normalne razdiobe je nezavisnost statistika X i S 2 . Dokaz
te činjenice nije jednostavan, ali je njezina vjerodostojnost vidljiva iz sljedećeg promišljanja.
Ako uzorak dolazi iz normalne razdiobe, tada vrijednost ¯x statistike X na opaženom uzorku
ne daje nikakve informacije o parametru σ 2 . Isto tako ni vrijednost s 2 statistike S 2 ne daje
nikakvu informaciju o parametru µ. Naprotiv, ako uzorak dolazi iz, na primjer, eksponencijalno
distribuirane populacije, tada ¯x nosi informaciju i o populacijskoj varijanci jer su
parametri µ i σ 2 za takvu populaciju povezani relacijom σ 2 = µ 2 .
6.4 Studentova t-distribucija
Za statističko zaključivanje o parametru očekivanja µ koristi se standardizirana verzija Z
statistike X:
Z = X − µ √ n,
σ
ako je poznata vrijednost parametra standardne devijacije σ. U tom slučaju je uzoračka
razdioba od Z:
Z ∼ N(0, 1) ako je X uzet iz normalne populacije,
Z ∼: N(0, 1) ako je n dovoljno velik i 0 < σ 2 < +∞.
Ako je vrijednost od σ nepoznata, za zaključivanje o µ koristi se studentizirana verzija T
od X, dakle, slučajna varijabla
T := X − µ √ n
S
gdje je S = √ S 2 uzoračka standardna devijacija.
Pokazuje se da za uzorak X iz normalne populacije uzoračka razdioba od T ne ovisi o
parametrima µ i σ 2 te populacije, već samo o duljini uzorka. Kažemo da T ima Studentovu
ili t-razdiobu s n − 1 stupnjem slobode. Tu činjenicu zapisujemo na sljedeći način:
T ∼ t(n − 1).
Ako populacijska razdioba nije normalna, taj rezutat ne mora vrijediti.
Općenito, ako su Z i V dvije nezavisne slučajne varijable, Z ∼ N(0, 1) i V ∼ χ 2 (k),
tada slučajna varijabla Z/ √ V/k ima Studentovu ili t-distribuciju s k stupnjeva slobode, i
pišemo
Z
√
V/k
∼ t(k).
58