Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

More documents

Recommendations

Info

Nije teško pokazati da se te procjene mogu izračunati po formulama ˆβ = S xy S xx , ˆα = ȳ − ˆβ¯x. Naime, ˆα i ˆβ su rješenja sustava od dvije jednadžbe koje se dobiju kada se parcijalne derivacije od q(α, β) izjednače s nulom. Dakle, procjenitelji metodom najmanjih kvadrata od α i β su statistike ˆβ = S xY , ˆα = Y − S ˆβ¯x. xx Za uzoračke razdiobe tih statistika vrijedi: E[ ˆβ] = β, Var[ ˆβ] = σ 2 · E[ˆα] = α, 1 S xx , Var[ˆα] = σ 2 · ( 1 n + ¯x2 S xx ). Označimo sa Ŷi := ˆα + ˆβx i procjenitelj za varijablu Y i , a sa ŷ i opaženu vrijednost tog procjenitelja (i = 1, 2, . . . , n). Tada je nepristrani procjenitelj zajedničke varijance slučajnih grešaka statistika ˆσ 2 := 1 n∑ (Y i − n − 2 Ŷi) 2 . i=1 Primijetite da je opažena vrijednost ∑ n i=1 (y i − ŷ i ) 2 od ∑ n i=1 (Y i − Ŷi) 2 upravo jednaka minimumu funkcije (10.4) 10.2.3 Rastav varijance odziva Ukupna varijabilnost u slučajnom uzorku Y varijable odziva Y je n∑ SSTOT := (Y i − Y ) 2 = S YY . i=1 Dio te varijabilnosti se objašnjava postojanjem linearne ovisnosti varijabli Y i o vrijednostima x i od X, a dio postojanjem slučajnih pogrešaka. Udio varijabilnosti zbog linearne ovisnosti Y o X u ukupnoj varijabilnosti SSTOT predstavlja mjeru prilagodbe linearnog regresijskog modela podacima. Kvadriranjem izraza Y i − Y = (Y i − Ŷi) + (Ŷi − Y ) i zbrajanjem po svim i = 1, 2, . . . , n dobijamo n∑ n∑ n∑ (Y i − Y ) 2 = (Y i − Ŷi) 2 + (Ŷi − Y ) 2 , i=1 i=1 i=1 budući da je zbroj srednjih članova kvadrata binoma jednak nuli. Član s lijeve strane dobivene jednakosti je SSTOT, ukupna varijabilnost u podacima od Y ili ukupna suma kvadrata. Drugi član s desne strane jednakosti predstavlja zbroj kvadrata odstupanja vrijednosti prilagodene regresijske funkcije od uzoračke srednje vrijednosti od Y , dakle, onaj dio ukupne varijabilnosti koji je objašnjen linearnom zavisnošću Y o X. Taj zbroj zovemo sumom kvadrata zbog regresije i označavamo sa SSR. Na kraju, prvi član zdesna je zbroj kvadrata procijenjenih pogrešaka ili reziduala ˆε i := Y i − Ŷi (i = 1, 2, . . . , n), koji još zovemo 92
suma kvadrata pogrešaka ili reziduala i označavamo sa SSE. SSE je onaj dio ukupne varijabilnosti koji se objašnjava slučajnim pogreškama. Dakle, SSTOT = SSR + SSE. Opažene vrijednosti računaju se na sljedeći način: SSTOT = S yy SSR = n∑ ( (ˆα + ˆβx i ) − (ˆα + ˆβ¯x) ) 2 = ˆβ2 S xx = S2 xy S xx i=1 ⇒ SSE = S yy − S2 xy S xx . Nadalje, može se pokazati da vrijedi: odakle slijedi da je E[SSTOT] = (n − 1)σ 2 + β 2 S xx , E[SSR] = σ 2 + β 2 S xx , E[SSE] = (n − 2)σ 2 . Primijetite da zadnja relacija pokazuje da je procjenitelj ˆσ 2 nepristran za σ 2 , budući da je očito ˆσ 2 = SSE/(n − 2). U slučaju kada su podaci “blizu” pravca (dakle, kada je |r| blisko jedinici što je indikacija jake linearne povezanosti), prilagodba linearnog regresijskog modela je dobra, dakle, procjene ŷ i su bliske opaženim vrijednostima y i , pa je SSE relativno malo, a SSR relativo veliko. Obratno, kada podaci nisu “bliski” pravcu (|r| je bliže nuli indicirajući slabu linearnu vezu), prilagodba linearnog regresijskog modela nije tako dobra, dakle, procjene ŷ i nisu bliske opaženim vrijednostima y i , pa je SSE relativno veliko, a SSR relativo malo. Omjer varijabilnosti objašnjene linearnom vezom i ukupne varijabilnosti: R 2 := SSR SSTOT · 100% = S2 xy S xx · S yy · 100% zove se koeficijent determinacije. Primijetite da je (za jednostavni linearni model) koeficijent determinacije, u stvari, kvadrat Pearsonovog koeficijenta korelacije r izražen u formi postotka. Primjer 10.4 Podacima iz primjera 10.1 prilagodimo jednostavni linearni regresijski model (10.3) pretpostavljajući da su zadovoljeni Gauss-Markovljevi uvjeti. Na osnovi opaženih vrijednosti statistika iz primjera 10.2, procjene koeficijenta smjera β i slobodnog člana α regresijskog pravca su ˆβ = S xy S xx = 7.4502 8.4440 = 0.8823, ˆα = ȳ − ˆβ¯x = 3.287 − 0.8823 · 3.54 = 0.1636. Dakle, procijenjeni pravac je ŷ = 0.1636 + 0.8823x i njegov je graf, zajedno s podacima, prikazan na slici (sljedeća stranica). Nadalje, SSTOT = S yy = 7.1588, SSR = S2 xy S xx = 7.45022 8.440 = 6.5734, odakle slijedi da je SSE = SSTOT − SSR = 0.5854 i ˆσ 2 = SSE/8 = 0.0732. Koeficijent determinacije iznosi R 2 = SSR/SSTOT = 91.8% što pokazuje da je prilagodba modela dobra. 93
Page 1 and 2:
Sveučilište u Zagrebu PMF-Matemat
Page 3 and 4:
4 Zajednička razdioba slučajnih v
Page 5 and 6:
10.2.7 Provjera modela . . . . . .
Page 7 and 8:
deskriptivne statistike, koriste se
Page 11 and 12:
elativna visina razred frekvencija
Page 13 and 14:
Primjer 1.8 Aritmetička sredina po
Page 15:
U sljedećem koraku definiramo donj
Page 18 and 19:
zovemo vjerojatnost na (Ω, F). Bro
Page 20 and 21:
Funkciju f X zovemo funkcijom gusto
Page 22 and 23:
2.7 Momenti Neka je X slučajna var
Page 24 and 25:
Geometrijska slučajna varijabla im
Page 26 and 27:
Vrijedi: E[X] = α + β (β − α)
Page 28 and 29:
0.4 0.3 0.2 0.1 -3 -2 -1 0 1 2 3 In
Page 30 and 31:
2.9.2 Neprekidne razdiobe Neka je X
Page 32 and 33:
Poglavlje 3 Funkcije izvodnice 3.1
Page 34 and 35:
Primjer 3.5 Pomoću f.i.v., izraču
Page 36 and 37:
3.5 Funkcije izvodnice linearnih fu
Page 38 and 39:
Svojstva te funkcije: (G1) f X,Y (x
Page 40 and 41:
Primjer 4.3 Za slučajni vektor (X,
Page 42 and 43: 4.6 Kovarijanca i koeficijent korel
Page 44 and 45: 4.8 Konvolucije Neka su X i Y sluč
Page 46 and 47: Primjer 4.9 Neka su X ∼ P (λ) i
Page 48 and 49: Kompozicaja te funkcije i slučajne
Page 50 and 51: Alternativno se koristi nestandardi
Page 52 and 53: 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 -4 -3 -2 -1 1 2
Page 54 and 55: 5.2.3 Gama razdioba Neka je X 1 , X
Page 56 and 57: su statistike, dok uzorački drugi
Page 58 and 59: Dakle, S 2 ima χ 2 -distribuciju k
Page 60 and 61: 6.5 Fisherova F -razdioba Ako su U
Page 62 and 63: Dakle, procjenitelj metodom momenat
Page 64 and 65: Primjer 7.5 Neka je x = (x 1 , x 2
Page 66 and 67: Očito se ta jednadžba mora rješa
Page 68 and 69: Cramer-Raova donja granica. Primije
Page 70 and 71: Na primjer, ako je θ ↦→ g(X,
Page 72 and 73: Ta veličina je studentizirana verz
Page 74 and 75: 8.3.2 Parametar Poissonove razdiobe
Page 76 and 77: gdje su ˆθ 1 = X 1 /n 1 i ˆθ 2
Page 78 and 79: Poglavlje 9 Testiranje statistički
Page 80 and 81: Ako bi htjeli sprovesti dvostrani t
Page 82 and 83: 9.3.4 Testovi o parametru Poissonov
Page 84 and 85: 9.6 Testovi i pouzdani intervali Ob
Page 86 and 87: Zadnja smo dva razreda u tablici mo
Page 88 and 89: Dijagram rasprešenja: 5 4.5 4 ispl
Page 90 and 91: 10.1.2 Normalni model i inferencija
Page 94 and 95: 5 4.5 4 isplata 3.5 3 2.5 2 2 2.5 3
Page 96 and 97: Ta se slučajna varijabla kristi ka
Page 98 and 99: 10.2.8 Transformirani podaci U neki
Page 100 and 101: te τ i , odstupanje i-tog tretmana
Page 102 and 103: Primjer 11.1 Iz svakog od tri osigu
Page 104 and 105: 11.2 Analiza sredina tretmana Pretp
Page 106: Literatura [1] Subject 101: Statist
show all

Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?