Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

U sljedećem koraku definiramo donji kvartil q L i gornji kvartil q U skupa podataka formulama
q L := x (
n+1
), q U := x 3(n+1)
4 ( ) .
4
Opisno, za donji kvartil vrijedi da je 25% podataka u skupu manje od ili jednako njemu,
a 75% podataka je veće od ili jednako njemu. Slično se objašnjava i gornji kvartil (u
prethodnoj rečenici treba zamijeniti 25% sa 75% i obratno). Konačno, interkvartil IQR
skupa podataka (1.1) je razlika gornjeg i donjeg kvartila:
IQR = q U − q L .
Primjer 1.13 Za uzorak iz primjera 1.3 računamo
q L = x (
81
4 ) = x (20+ 1 4 ) = x (20) + 1 4 (x (21) − x (20) ) = 1 + 1 4 (2 − 1) = 5 4 = 1.25
q U = x (
243
4 ) = x (60+ 3 4 ) = x (60) + 3 4 (x (61) − x (60) ) = 3 + 3 (3 − 3) = 3.
4
Dakle, interkvartil tog uzorka je IQR = 3 − 1.25 = 1.75.
1.8 Mjere asimetričnosti
Sljedeća važna značajka distribucije skupa podataka je njezin oblik. Jedna komponenta
oblika je simetričnost. Pretpostavimo da su podaci (1.1) numerički. Simetričnost skupa
podataka opisuje se trećim centralnim momentom. Kažemo da je skup podataka simetričan
ako je njihov treći centralni moment jednak nuli, drugim riječima, ako je taj skup brojeva
simetričan u odnosu na svoju aritmetičku sredinu. Odstupanje od simetričnosti mjeri se
koeficijentom asimetrije. Koeficijent asimetrije α 3 je treći moment skupa standardiziranih
podataka normiran sa n − 1 umjesto n:
α 3 := 1
n − 1
n∑
( ) xi − ¯x 3
.
s
i=1
Kažemo da je skup podataka negativno asimetričan ako je α 3 < 0, a pozitivno asimetričan
ako je α 3 > 0. α 3 = 0 znači da je skup podataka simetričan. Grafički, histogram simetričnog
skupa podataka je simetričan u odnosu na vertikalni pravac koji prolazi aritmetičkom sredinom.
Na primjer, histogrami B i C prikazani na slici 1.5 prikazuju pozitivno asimetrične, a
histogrami A i D na istoj slici, negativno asimetrične skupove podataka. Budući da su koeficijenti
asimetrije za skupove podataka čiji su histogrami C i D, vrlo mali, gotovo jednaki
nuli, uzimamo da su ti skupovi podataka (gotovo) simetrični.
1.9 Dijagram pravokutnika
Dijagram pravokutnika (engl. box and whisker) koristi se za grafički prikaz distribucije
velikog i malog skupa numeričkih podataka. Iz njega se direktno može očitati medijan,
donji i gornji kvartil, interkvartil, raspon, ekstremne vrijednosti i simetrija. Na slici 1.6
nalazi se dijagram pravokutnika za podatke iz primjera 1.4.
15