Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

Kompozicaja te funkcije i slučajne varijable X je takoder slučajna varijabla koju označavamo
Var[Y |X] i zovemo uvjetnom varijancom od Y uz dano X. Vrijedi:
Var[E[Y |X]] = Var[Y ] − E[Var[Y |X]]. (4.25)
Dokaz. Iz (4.24) je Var[Y |X] = E[Y 2 |X] − E[Y |X] 2 pa je
S druge strane je
E[Var[Y |X]] lin. = E[E[Y 2 |X]] − E[E[Y |X] 2 ] (4.23)
= E[Y 2 ] − E[E[Y |X] 2 ].
Var[E[Y |X]] = E[E[Y |X] 2 ] − E[E[Y |X]] 2 (4.23)
= E[E[Y |X] 2 ] − E[Y ] 2 .
Zbrajanjem lijevih, te desnih strana dobivenih jednakosti imamo
odakle slijedi jednakost (4.25).
Var[E[Y |X]] + E[Var[Y |X]] = E[Y 2 ] − E[Y ] 2 = Var[Y ]
Primjer 4.12 Neka su N, X 1 , X 2 , . . . nezavisne slučajne varijable takve da su X 1 , X 2 , . . .
jednako distribuirane s f.i.m. jednakom M X (t), a N je brojeća slučajna varijabla s f.i.v.
G N (t). Nadalje, neka je
S = X 1 + X 2 + · · · + X N ,
pri čemu uzimamo da je S = 0 na dogadaju {N = 0}. Tada je f.i.m. slučajne varijable S
jednaka
M S (t) = E[e tS ] = (4.23) = E[E[e tS |N]] =
=
∞∑
E[e tS |N = n]P(N = n) =
=
=
=
n=0
∞∑
n=0
∞∑
n=0
∞∑
n=0
E[e t(X 1+X 2 +···+X n) |N = n]P(N = n) = (nez. i (4.22))
E[e t(X 1+X 2 +···+X n) ]P(N = n) = (nez. i (4.21))
M X (t) n P(N = n) = (def. f.i.v.)
= G N (M X (t)). (4.26)
48