Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

8.3.2 Parametar Poissonove razdiobe
Konstrukcije pouzdanih intervala za slučajeve malog i velikog uzorka su slične kao za vjerojatnost
uspjeha u binomnoj razdiobi.
Neka je X = (X 1 , X 2 , . . . , X n ) slučajni uzorak iz P (λ)-distribuirane populacije. Tada
je Y := X 1 + X 2 + · · · + X n ∼ P (nλ). MLE za λ je
ˆλ = Y n = X.
Ako je uzorak mali (n je mali broj), 95%-pouzdani interval za λ dobije se rješavanjem
sustava nejednadžbi
F Y (y|λ) ≥ 0.025, 1 − F Y (y − 1|λ) ≥ 0.025,
gdje je y opažena vrijednost od Y , a F Y funkcija distribucije od Y :
y∑ (nλ) k
F Y (y|λ) = e −nλ , y = 0, 1, 2, . . .
k!
k=0
Pokazuje se da je funkcije λ ↦→ F Y (y|λ) strogo padajuća na ⟨0, +∞⟩, pa za granice ˆλ 1 =
ˆλ 1 (y), ˆλ 2 = ˆλ 2 (y) 95%-pouzdanog intervala [ˆλ 1 (Y ), ˆλ 2 (Y )] vrijedi da su rješenja jednadžbi:
F Y (y|ˆλ 2 ) = 0.025, 1 − F Y (y − 1|ˆλ 1 ) = 0.025.
Ako je n velik broj, tada za konstrukciju aproksimativnog 95%-pouzdanog intervala za
λ koristimo standardiziranu verziju statistike X,
X − λ
√
λ
√ n ∼: N(0, 1),
kao pivotne veličine, odnosno njenu modificiranu verziju
X − λ√ n ∼: N(0, 1).
√ˆλ
Dakle, aproksimativni 95%-pouzdani interval za λ je
√
ˆλ
ˆλ ± 1.96 ·
n .
8.4 Pouzdani intervali za probleme s dva uzorka
Usporedba parametara dviju populacija obično se bazira na nezavisnim uzorcima iz tih populacija.
Na primjer, ako se radi o parametrima očekivanja, jasno je da ćemo ih usporedivati
pomoću njihovih procjena, odnosno statistika X 1 i X 2 . Važnost pretpostavke o nezavisnosti
uzoraka sada se vidi iz sljedećih relacija. Ako su uzorci nezavisni, tada je
Var[X 1 − X 2 ] = σ2 1
n 1
+ σ2 2
n 2
,
a ako su zavisni moramo uzeti u obzir njihovu korelaciju:
Var[X 1 − X 2 ] = σ2 1
n 1
+ σ2 2
n 2
− 2 cov[X 1 , X 2 ].
Brojevi n 1 i n 2 označavaju duljine prvog, odnosno drugog uzorka, a σ1 2 i σ2 2
varijance.
Najčešća forma zavisnosti je kada imamo sparene podatke.
su populacijske
74