Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

Alternativno se koristi nestandardizirana verzija CGT-a:
X ∼: N(µ, σ2
n n ) za veliko n, odnosno ∑
X i ∼: N(nµ, nσ 2 ) za veliko n.
Prirodno se postavlja pitanje koliko n mora biti velik da bi aproksimacija normalnom
razdiobom bila zadovoljavajuća. Obično se uzima n ≥ 30, ali potpuni odgovor bi glasio da
veličina od n ovisi o obliku razdiobe slučajnih varijabli X i , preciznije, je li simetrična, a
ako nije, koliko je asimetrična. Ako je razdioba od X i približno simetrična, tada i n = 10
može biti dovoljno velik, a ako je distrbucija znatno asimetrična, tada se mora uzeti barem
n = 50. Na slikama 5.1, 5.2 i 5.3 ilustrirano je koliko dobro normalna razdioba aproksimira
distribuciju zbroja n.j.d. slučajnih varijabli (ili njihovih standardiziranih verzija) u ovisnosti
o n.
5.2 Normalna aproksimacija
Navedimo primjene CGT-a na neke od važnih distribucija.
5.2.1 Binomna razdioba
Neka je X binomna (n, θ) slučajna varijabla. Tada znamo da se X može reprezentirati
pomoću zbroja X = ∑ n
i=1 X i od n n.j.d. Bernoullijevih slučajnih varijabli X i (i =
1, 2, . . . , n) s parametrom θ. Budući da je
i=1
µ = E[X i ] = θ, σ 2 = Var[X i ] = θ(1 − θ),
varijable X i (i = 1, 2, . . . , n) zadovoljavaju uvjete CGT-a. Dakle,
X ∼: N(nθ, nθ(1 − θ)) za velike n.
n je dovoljno velik ako je istovremeno nθ ≥ 5 i n(1 − θ) ≥ 5. Na primjer, ako je θ = 0.5,
tada je dovoljno uzeti n = 10, a ako je θ = 0.2 ili θ = 0.8 treba uzeti barem n = 25.
Za manje (ili veće) θ treba uzeti veći n. Na slici 5.1 grafički je prikazana aproksimacija
binomne pomoću normalne razdiobe za razne vrijednosti parametra n.
5.2.2 Poissonova razdioba
Neka je X 1 , X 2 ,..., X n niz n.j.d. P (λ)-distribuiranih slučajnih varijabli. Dakle,
pa je prema CGT-u za X = ∑ n
i=1 X i ,
µ = E[X i ] = λ, σ 2 = Var[X i ] = λ,
X ∼: N(nλ, nλ) za velike n.
S druge strane, X ∼ P (nλ), pa gornja relacija za granično ponašanje od X povlači da je
Ta aproksimacija je dobra za λ > 5.
P (λ) ∼: N(λ, λ) za veliko λ.
50