Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

slučaju kada su obje hipoteze, nulhipoteza i alternativna, jednostavne hipoteze. Za zadanu
razinu značajnosti, kritično se područje (a time i testna statistika) za najbolji test, odredi
kao skup onih vrijednosti uzoraka za koje vrijedi da je omjer L 0 /L 1 vjerodostojnosti L 0
uz H 0 i L 1 uz H 1 , izraženih kao funkcije uzoraka, ograničen odozgo nekom konstantom.
Preciznije, ako je C kritično područje veličine α, te ako postoji konstanta k takva da za sve
točke iz C vrijedi L 0
L 1
≤ k, a da za točke izvan C vrijedi L 0
L 1
> k, tada je C najjače kritično
područje veličine α za testiranje jednostavne osnovne hipoteze H 0 : θ = θ 0 u odnosu na
jednostavnu alternativnu hipotezu H 1 : θ = θ 1 (L 0 ≡ L(θ 0 ), L 1 ≡ L(θ 1 )).
Ako je barem jedna od hipoteza H 0 i/ili H 1 složena, tada samo u specijalnim slučajevima,
na primjer kod jednostranih testova, postoji test koji je najbolji za sve parametre.
U slučajevima kada najbolji test u smislu Neymman-Pearsonove teorije ne postoji, koristi
se drugi pristup za nalaženje dobrih testova: metoda omjera vjerodostojnosti. Testovi dobiveni
metodom omjera vjerodostojnosti su, na neki način, poopćenja testova dobivenih
Neyman-Pearsonovim pristupom. Kritično područje testa omjera vjerodostojnosti zadovoljava
nejednadžbu:
max θ∈H0 L(θ|x)
max θ L(θ|x)
za neki k. Maksimum u brojniku se uzima samo po vrijednostima parametra koja zadovoljavaju
hipotezu H 0 , dok se maksimum u nazivniku uzima u odnosu na sve moguće vrijednosti
parametara. Na primjer, primjenom tog pristupa na slučaj uzorkovanja iz normalne populacije
N(µ, σ 2 ) i testiranje hipoteze H 0 : µ = µ 0 , gdje je µ 0 zadani broj, dolazimo do testa
opisanoga testnom statistikom
T = X − µ 0 √ n
S
za koju vrijedi da, ako je H 0 ispunjeno, ima Studentovu t(n − 1)-razdiobu. Tu činjenicu
pišemo:
T H 0
∼ t(n − 1).
Istom metodom dolazimo do testne statistike za testiranje H 0 : σ 2 = σ0 2 (σ2 0 je zadani
pozitivni realni broj):
(n − 1)s 2 H ∼
0
χ 2 (n − 1).
σ 2 0
Primjer 9.1 X je slučajni uzorak iz N(µ, σ 2 )-distribuirane populacije i oba parametra su
nepoznata. želimo sprovesti jednostrani test (µ 0 je zadani broj):
≤ k
H 0 : µ = µ 0 , H 1 : µ < µ 0
uz razinu značajnosti od 5%. Testna statistika je
T = X − µ 0 √ H n ∼
0
t(n − 1),
S
a kritično područje je ⟨−∞, −t 0.05 (n−1)]. Dakle, ako je vrijednost t = T (x) testne statistike
T na opaženom uzorku x takva da je t ≤ −t 0.05 (n−1), tada odbacujemo H 0 uz značajnost od
5% (tj. uz rizik od 5% da smo pogriješili) 1 . Da smo imali suprotnu jednostranu alternativu
H ′ 1 : µ > µ 0, tada bi kritično područje bio interval [t 0.05 (n − 1), +∞⟩.
1 Korektna interpretacija ovog jednostranog testa (i gotovo svakog drugog jednostranog testa) je da, u
stvari, testiramo H ′ 0 : µ ≥ µ 0 u odnosu na H 1 : µ < µ 0. U tom slučaju, razina značajnosti se interpretira kao
najveća vjerojatnost pogreške prve vrste. Budući da nije teško pokazati da se ta najveća vjerojatnost postiže
upravo za graničnu vrijednost µ = µ 0 , jednostrani test iz primjera 9.1 je ekvivalentan testu sa korektnim
zapisom hipoteza.
79