Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

su statistike, dok uzorački drugi moment oko parametra očekivanja µ = E[X],
1
n
n∑
(X i − µ) 2
i=1
nije statistika, ukoliko nam vrijednost od µ nije poznata. Općenito statistike označavamo
sa g(X).
Budući da je statistika funkcija slučajnih varijabli, slučajna je varijabla pa ima svoju
razdiobu koju zovemo uzoračkom razdiobom. Primijetite da je zbog CGT-a uzoračka razdioba
uzoračke sredine X za velike uzorke aproksimativno normalna bez obzira koja je
populacijska razdioba izučavane varijable X (uz jedini uvjet da je populacijska varijanca
konačna i nije jednaka nuli).
6.2 Momenti uzoračke sredine i varijance
Neka je X = (X 1 , X 2 , . . . , X n ) slučajni uzorak duljine n iz populacije opisane varijablom
X čija populacijska razdioba ima matematičko očekivanja µ i varijancu σ 2 . Kraće kažemo
da je X slučajni uzorak iz populacije s parametrima očekivanja µ i varijance σ 2 .
6.2.1 Uzoračka sredina
Uzoračka sredina je statistika
X = 1 n∑
X i .
n
i=1
Računamo matematičko očekivanje i varijancu uzoračke razdiobe te statistike:
Dakle,
E[X] = 1 n∑
E[X i ]
n
i=1
Var[X]
(2.7)
=
(linearnost očekivanja)
= 1 · nµ = µ (jednaka distribuiranost)
n
1
n
n 2 Var[ ∑
X i ] = 1 ∑ n
n 2 Var[X i ] (nezavisnost)
=
i=1
1
n 2 · nσ2 = σ2
n
i=1
(jednaka distribuiranost).
E[X] = µ (6.1)
Var[X] = σ2
n . (6.2)
Standardna devijacija od X zove se standardna greška uzoračke sredine, i označava se sa
s.e.(X). Dakle,
s.e.(X) := σ(X) = σ √ n
.
6.2.2 Uzoračka varijanca
Uzoračka varijanca je statistika
S 2 = 1
n − 1
n∑
(X i − X) 2 .
i=1
56