Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

8.1.2 Pouzdane granice
95%-pouzdani interval za parametar µ normalno N(µ, σ 2 )-distribuirane populacija s poznatom
varijancom σ 2 , ili aproksimativni 95%-pouzdani interval za parametar očekivanja µ
s konzistentno procjenjenom vrijednosti za populacijsku standardnu devijaciju σ je
[X − 1.96 ·
σ
σ
√ , X + 1.96 · √ ].
n n
Taj interval se može alternativno zapisati pomoću svojih pouzdanih granica:
X ± 1.96 ·
σ
√ n
.
Prednost takvog zapisa je njegova informativnost. Naime, iz njega čitamo točkovnu procjenu
za µ i preciznost te procjene (uz pouzdanost od 95%). Nadalje, jednostrani pouzdani
intervali odgovaraju gornjoj, odnosno donjoj pouzdanoj granici.
8.1.3 Veličina uzorka
Statističarima se često postavlja pitanje o potrebnoj veličini uzorka.
pitanje, potrebne su sljedeće informacije:
Za odgovor na to
1. kolika je preciznost procjene potrebna;
2. koliko iznosi (barem približno) standardna devijacija σ.
Informacija o standardnoj devijaciji nije uvijek na raspolaganju.
procjenom na osnovi izv. pilot-uzoraka.
Često se do nje dolazi
Primjer 8.2 Osiguravajuće društvo želi procijeniti srednju vrijednost iznosa šteta po policama
odredene klase, a koje su nastale tijekom prošle godine. Iscrpni podaci o istovrsnim
štetama iz prethodnih godina sugeriraju da bi standardna devijacija prošlogodišnjih iznosa
šteta mogla biti oko 450 kn. Srednju vrijednost prošlogodišnjih iznosa šteta treba procijeniti
do na ±50 kn točnosti uz 95% pouzdanosti. Koliko veliki uzorak treba uzeti? Označimo
sa µ srednju vrijednost koju želimo procijeniti. 95%-pouzdani interval za µ će imati granice
σ
X ± 1.96 · √n , gdje je σ standardna devijacija iznosa prošlogodišnjih šteta. Prema informacijama
kojima raspolažemo, σ ≈ 450. Tada iz zahtjeva na preciznost imamo:
1.96 · 450 √ n
≤ 50 ⇒ √ n ≥ 1.96 · 450
50
⇒ n ≥ 312.
Dakle, odabiremo slučajni uzorak veličine n = 320 (malo veći od dobivene vrijednosti jer
je procjena od σ gruba).
8.2 Pouzdani intervali za parametre normalno distribuirane
populacije
8.2.1 Populacijska sredina
U proslom smo potpoglavlju konstruirali pouzdani interval za parametar očekivanja normalne
populacije kada je populacijska standardna devijacija poznata. To je nerealna
situacija. Dakle, trebamo pivotnu veličinu za situaciju kada su oba parametra nepoznata.
71