Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

Poglavlje 7
Točkovne procjene
U ovom poglavlju navest ćemo metode za odredivanje procjenitelja parametara populacijske
razdiobe, odnosno statistika koje služe za procjenjivanje njihovih vrijednosti, i navest ćemo
neka njihova svojstva.
7.1 Metoda momenata
Osnovni princip metode momenata je da se izjednače populacijske vrijednosti momenata
(koje su funkcije nepoznatih parametara) s odgovarajućim uzoračkim momentima. Procjenitelji
parametara su rješenja tog sustava jednadžbi po parametrima kao nepoznanicama,
dakle funkcije su uzoračkih momenata, a time i slučajnog uzorka. Procjena populacijskog
parametra je vrijednost procjenitelja na opaženom uzorku. Dakle, procjenitelj je statistika,
a procjena je broj, njena opažena vrijednost.
7.1.1 Jednoparametarski slučaj
Neka je x opaženi uzorak za varijablu X čija je populacijska razdioba opisana gustoćom
f(x|θ). Ako imamo samo jedan nepoznati parametar θ, izračunajmo populacijsko očekivanje
⎧ ∑
⎪⎨ x∈ImX xf(x|θ)
µ(θ) = E[X] =
+∞ ∫
⎪⎩ xf(x|θ) dx
−∞
ako je X diskretna slučajna varijabla
ako je X neprekidna slučajna varijabla
kao funkciju od θ, te uzoračku sredinu ¯x. Procjena od θ metodom momenata je rješenje
jednadžbe
µ(θ) = ¯x.
Označimo dobivenu procjenu sa ˆθ = ˆθ(x). Tada je procjenitelj za θ metodom momenata
statistika ˆθ(X). Kada je iz konteksta jasno da se radi o procjenitelju (a ne o njegovoj
realizaciji, procjeni), kraće ćemo ga označavati sa ˆθ. Primijetite da je ˆθ, u stvari, funkcija
prvog uzoračkog momenta ¯X.
Primjer 7.1 Neka je X = (X 1 , X 2 , . . . , X n ) slučajni uzorak za varijablu X s populacijskom
Exp(λ)-razdiobom, pri čemu je λ > 0 nepoznati parametar. Znamo da je µ(λ) = E[X] =
1/λ. Izjednačavanje prvih momenata, populacijskog i opaženog uzoračkog, dobijemo:
1
λ = ¯x ⇒ ˆλ = 1¯x .
61