Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

kocki nakon bacanja, za nulhipotezu uzimamo
H 0 : P(X = i) = 1 6
za i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Rezltati n = 300 bacanja te kocke dani su u frekvencijskoj tablici:
i 1 2 3 4 5 6
f i 43 56 54 47 41 59
Uz H 0 , očekivane frekvencije svih šest razreda su jednake n · 1
6
= 300/6 = 50. Izračun
vrijednosti h testne statistike H prikazan je u tablici:
i f i e i
(f i −e i ) 2
e i
1 43 50 49/50
2 56 50 36/50
3 54 50 16/50
4 47 50 9/50
5 41 50 81/50
6 59 50 81/50
Σ 300 300 272/50
Dakle, h = 272/50 = 5.44. Budući da je H H 0
∼: χ 2 (6 − 0 − 1) = χ 2 (5), p-vrijednost je
P(H ≥ 5.44|H 0 ) = 0.365.
Dakle, nemamo jakih dokaza da kocka nije fer.
Primjer 9.5 U primjeru 7.8 podacima o brojevima šteta po 100000 polica od autoodgovornosti
prilagodena je Poissonova razdioba. Sprovedimo test je li prilagodba Poissonovog modela
tim podacima dobra. Dakle, nulhipoteza je da se brojevi šteta X po polici autoodgovornosti
u protekloj godini ravnaju po Poissonovom zakonu razdiobe. Metodom maksimalne
vjerodostojnosti procijenjen je nepoznati parametar razdiobe i ta procjena je ˆλ = 0.22078.
Izračunajmo očekivane frekvencije i vrijednost h testne statistike H. Očekivane frekvencije
za prvih pet razreda
zadovoljavaju rekurzivnu relaciju
e i = n · P(X = i|H 0 ) = n · ˆλ i
e i = ˆλ
i · e i−1
i! e−ˆλ, i = 0, 1, 2, 3, 4
za i = 1, 2, 3, 4 i e 0 = ne −ˆλ,
gdje je n = 100000 i ˆλ = 0.22078. Očekivanu frekvenciju zadnjeg razreda računamo po
formuli e ≥5 = n − ∑ 4
i=0 e i . Rezultat:
i f i e i
(f i −e i ) 2
e i
0 81056 80177.3 9.6
1 16174 17713.6 133.8
2 2435 1956.7 116.9
3 295 144.0 158.3
}
}
4 36
8.0
40
8.4 118.9
≥ 5 4
0.4
Σ 100000 100000.0 537.5
85