Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

Svojstva te funkcije:
(G1) f X,Y (x, y) ≥ 0 za sve x, y
(G2) ∑ x∈ImX,y∈ImY f X,Y (x, y) = 1.
Zajednička funkcija distribucije od X i Y (ili funkcija distribucije slučajnog vektora
(X, Y )) definira se kao funkcija F X,Y : R × R → R,
F X,Y (x, y) := P(X ≤ x, Y ≤ y).
Ako je (X, Y ) diskretan slučajni vektor s funkcijom vjerojatnosti f X,Y , tada vrijedi:
∑ ∑
F X,Y (x, y) =
f X,Y (a, b) za sve realne x, y.
{a∈ImX:a≤x} {b∈ImX:b≤y}
Primjer 4.1 Bacamo dvije simetrične igraće kocke: crvenu i plavu. Naka je X broj koji
se okrenuo na crvenoj kocki, a Y manji od brojeva koji su se okrenuli na obje kocke. Tada
je zajednička razdioba od X i Y prikazana tablicom:
Y
X 1 2 3 4 5 6 Σ
6
1
1
36
0 0 0 0 0
6
5
1
36
0 0 0 0
6
2
1
36
3
1
36
4
1
36
5
1
36
6
1
36
Σ 11
36
1
36
1
36
1
36
1
36
9
36
4
1
36
0 0 0
6
1 3
1
36 36
0 0
6
1 1 2 1
36 36 36
0
6
1 1 1 1 1
36 36 36 36 6
7 5 3 1
36 36 36 36
1
Zajednička razdioba dviju neprekidnih slučajnih varijabli X i Y opisana je zajedničkom
gustoćom f X,Y : R × R → R za koju vrijedi da je
P(a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d) =
∫b
a
∫d
dx
c
dy f X,Y (x, y) za sve a < b, c < d.
f X,Y još zovemo gustoćom (ili funkcijom gustoće) neprekidnog slučajnog vektora (X, Y ). Za
njihovu zajedničku funkciju distribucije vrijedi:
odnosno
F X,Y (x, y) =
∫x
−∞
du
∫ y
−∞
dv f X,Y (u, v) za sve realne x, y,
f X,Y (x, y) = ∂2 F X,Y
∂x∂y
(x, y),
za točke (x, y) za koje navedena parcijalna derivacija postoji.
Svojstva zajedničke gustoće neprekidnih varijabli:
(G1) f X,Y (x, y) ≥ 0 za sve x, y
(G2) +∞ ∫
+∞ ∫
−∞ −∞
f X,Y (x, y) dx dy = 1.
38