Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

9.3.4 Testovi o parametru Poissonove populacije
Zadan je slučajni uzorak X = (X 1 , X 2 , . . . , X n ) duljine n iz populacije s Poissonovom P (λ)-
razdiobom. Testiramo
H 0 : λ = λ 0 .
Testna statistika je Y := X 1 + X 2 + · · · + X n i za nju vrijedi
Y H 0
∼ P (nλ 0 ).
Za veliko n koristi se normalna aproksimacija razdiobe od Y ili od X = Y/n:
Y − nλ 0
√ nλ0
H 0
∼: N(0, 1) ili
X − λ 0
√
λ0
√ n
H 0
∼: N(0, 1).
Prva statistika je primjerenija za primjenu korekcije zbog neprekidnosti.
9.4 Osnovni testovi bazirani na dva uzorka
9.4.1 Test o razlici populacijskih očekivanja
Zadana su dva nezavisna uzorka duljina n 1 i n 2 iz normalno distribuiranih populacija:
N(µ 1 , σ 2 1 ) i N(µ 2, σ 2 2 ). Testiramo (δ 0 je zadani broj)
Imamo sljedeće situacije:
H 0 : µ 1 − µ 2 = δ 0 .
1. σ 2 1 i σ2 2
su poznati. Tada je testna statistika
Z = X 1 − X 2 − δ 0
√
H 0
σ1
2
n 1
+ σ2 2
n 2
∼ N(0, 1).
2. σ1 2 i σ2 2 su nepoznati. Ako imamo velike uzorke, σ2 1 i σ2 2 procijenimo iz uzoraka pomoću
S1 2 i S2 2 . U tom slučaju je Z H 0
∼: N(0, 1). Ako imamo male uzorke, tada moramo
još pretpostaviti da su σ1 2 = σ2 2 = σ2 , te zajedničku varijancu procijeniti pomoću
zajedničke uzoračke varijance Sp 2 (vidjeti 8.4.1). U tom slučaju, testna statistika je
T = X 1 − X 2 − δ 0
S p
√ 1
n 1
+ 1 n 2
H 0
∼ t(n1 + n 2 − 2).
9.4.2 Test o kvocijentu populacijskih varijanci
Kao i u prethodnom potpoglavlju, zadana su dva nezavisna uzorka duljina n 1 i n 2 iz normalno
distribuiranih populacija: N(µ 1 , σ1 2) i N(µ 2, σ2 2 ). Testiramo
H 0 : σ 2 1 = σ 2 2.
Testna statistika je
S1
2
S2
2
H 0
∼ F (n1 − 1, n 2 − 1).
82