Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

More documents

Recommendations

Info

gdje su ˆθ 1 = X 1 /n 1 i ˆθ 2 = X 2 /n 2 MLE parametara θ 1 i θ 2 . Dakle, aproksimativni 95%- pouzdani interval za θ 1 − θ 2 je ˆθ 1 − ˆθ 2 ± 1.96 · √ ˆθ1 (1 − ˆθ 1 ) n 1 + ˆθ 2 (1 − ˆθ 2 ) n 2 . 8.4.4 Usporedba dva Poissonova parametra Slično kao i za proporcije, razmotrit ćemo samo slučaj velikih uzoraka i konstrukcije aproksimativnih pouzdanih intervala. Neka su ˆλ 1 = X 1 i ˆλ 2 = X 2 MLE parametara λ 1 i λ 2 dviju populacija s Poissonovim razdiobama, a na osnovi nezavisnih uzoraka uzetih iz tih populacija. Konstrukcija se bazira na pivotnoj veličini (ˆλ 1 − ˆλ 2 ) − (λ 1 − λ 2 ) √ ˆλ1 n 1 + ˆλ 2 n 2 ∼: N(0, 1). Dakle, aproksimativni 95%-pouzdani interval za λ 1 − λ 2 je 8.5 Spareni podaci ˆλ 1 − ˆλ 2 ± 1.96 · √ ˆλ1 n 1 + ˆλ 2 n 2 . Spareni su podaci uobičajen primjer zavisnih uzoraka. Pretpostavimo da imamo slučajan uzorak iz dvodimenzionalne razdiobe vektora (X, Y ): (X 1 , Y 1 ), (X 2 , Y 2 ), . . . , (X n , Y n ). Interpretacija varijabli X i i Y i u paru (X i , Y i ) je da su to po tipu iste varijable, X i se mjeri prije nečega, recimo nekog tretmana, a Y i nakon tretmana, na istoj statističkoj jedinici i (i = 1, 2, . . . , n). Zbog toga je prirodno na sparene podatke gledati kao na jedan dvodimenzionalan uzorak, a ne kao na dva odvojena uzorka (X 1 , X 2 , . . . , X 2 ) i (Y 1 , Y 2 , . . . , Y n ). Budući da nas zanima srednji doprinos tretmana, analiziraju se razlike D i := X i − Y i , i = 1, 2, . . . , n. Dakle, ako sa D := X − Y označimo varijablu čiju populacijsku srednju vrijednost µ D := µ 1 − µ 2 želimo procijeniti, tada je baza za procjenu izvedeni slučajni uzorak D = (D 1 , D 2 , . . . , D n ). Ako je D uzorak iz normalno distribuirane populacije, tada je pivotna veličina za konstrukciju pouzdanih intervala za µ D : Dakle, 95%-pouzdani interval za µ D je D − µ d S D √ n ∼ t(n − 1). D ± t 0.025 (n − 1) S D √ n . Za velike n je t 0.025 (n − 1) ≈ 1.96. U tom slučaju navedeni interval dobro aproksimira 95%-pouzdani interval za µ D i ako populacija nije normalno distribuirana. 76
Praktične napomene: 1. Uvijek je dobro ispitati da li su podaci koje čine dva uzorka u stvari spareni podaci. To se može učiniti grafički pomoću dijagrama raspršenja ili računajući koeficijent korelacije. Ukoliko je zavisnost znatna, treba provjeriti izvor podataka da se vidi jesu li podaci spareni u skladu sa dizajnom uzorkovanja. 2. Analiza sparenih podataka kao nezavisnih vodi pogrešnim zaključcima jer se bazira na krivim pretpostavkama. S druge strane, ako nezavisne podatke analiziramo kao sparene, grešaka neće biti, ali će metode biti neefikasne. 77
Page 1 and 2:
Sveučilište u Zagrebu PMF-Matemat
Page 3 and 4:
4 Zajednička razdioba slučajnih v
Page 5 and 6:
10.2.7 Provjera modela . . . . . .
Page 7 and 8:
deskriptivne statistike, koriste se
Page 11 and 12:
elativna visina razred frekvencija
Page 13 and 14:
Primjer 1.8 Aritmetička sredina po
Page 15:
U sljedećem koraku definiramo donj
Page 18 and 19:
zovemo vjerojatnost na (Ω, F). Bro
Page 20 and 21:
Funkciju f X zovemo funkcijom gusto
Page 22 and 23:
2.7 Momenti Neka je X slučajna var
Page 24 and 25:
Geometrijska slučajna varijabla im
Page 26 and 27: Vrijedi: E[X] = α + β (β − α)
Page 28 and 29: 0.4 0.3 0.2 0.1 -3 -2 -1 0 1 2 3 In
Page 30 and 31: 2.9.2 Neprekidne razdiobe Neka je X
Page 32 and 33: Poglavlje 3 Funkcije izvodnice 3.1
Page 34 and 35: Primjer 3.5 Pomoću f.i.v., izraču
Page 36 and 37: 3.5 Funkcije izvodnice linearnih fu
Page 38 and 39: Svojstva te funkcije: (G1) f X,Y (x
Page 40 and 41: Primjer 4.3 Za slučajni vektor (X,
Page 42 and 43: 4.6 Kovarijanca i koeficijent korel
Page 44 and 45: 4.8 Konvolucije Neka su X i Y sluč
Page 46 and 47: Primjer 4.9 Neka su X ∼ P (λ) i
Page 48 and 49: Kompozicaja te funkcije i slučajne
Page 50 and 51: Alternativno se koristi nestandardi
Page 52 and 53: 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 -4 -3 -2 -1 1 2
Page 54 and 55: 5.2.3 Gama razdioba Neka je X 1 , X
Page 56 and 57: su statistike, dok uzorački drugi
Page 58 and 59: Dakle, S 2 ima χ 2 -distribuciju k
Page 60 and 61: 6.5 Fisherova F -razdioba Ako su U
Page 62 and 63: Dakle, procjenitelj metodom momenat
Page 64 and 65: Primjer 7.5 Neka je x = (x 1 , x 2
Page 66 and 67: Očito se ta jednadžba mora rješa
Page 68 and 69: Cramer-Raova donja granica. Primije
Page 70 and 71: Na primjer, ako je θ ↦→ g(X,
Page 72 and 73: Ta veličina je studentizirana verz
Page 74 and 75: 8.3.2 Parametar Poissonove razdiobe
Page 78 and 79: Poglavlje 9 Testiranje statistički
Page 80 and 81: Ako bi htjeli sprovesti dvostrani t
Page 82 and 83: 9.3.4 Testovi o parametru Poissonov
Page 84 and 85: 9.6 Testovi i pouzdani intervali Ob
Page 86 and 87: Zadnja smo dva razreda u tablici mo
Page 88 and 89: Dijagram rasprešenja: 5 4.5 4 ispl
Page 90 and 91: 10.1.2 Normalni model i inferencija
Page 92 and 93: Nije teško pokazati da se te procj
Page 94 and 95: 5 4.5 4 isplata 3.5 3 2.5 2 2 2.5 3
Page 96 and 97: Ta se slučajna varijabla kristi ka
Page 98 and 99: 10.2.8 Transformirani podaci U neki
Page 100 and 101: te τ i , odstupanje i-tog tretmana
Page 102 and 103: Primjer 11.1 Iz svakog od tri osigu
Page 104 and 105: 11.2 Analiza sredina tretmana Pretp
Page 106: Literatura [1] Subject 101: Statist
show all

Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?