Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

More documents

Recommendations

Info

Poglavlje 9 Testiranje statističkih hipoteza 9.1 Hipoteze, testne statistike, odluke i pogreške Statistička hipoteza je pretpostavka o populacijskoj razdiobi promatrane varijable. U slučaju parametarskih modela za populacijske razdiobe, to će biti bilo koja izjava o vrijednostima parametara. U ovom poglavlju uglavnom ćemo razmatrati takve statističke hipoteze. Osnovna hipoteza koja se testira zove se nulhipoteza i označava se sa H 0 . Nulhipoteza često predstavlja aktualno znanje o vrijednostima parametara ili neutralnu izjavu. Na primjer, želimo li testirati postojanje razlike izmedu dva populacijska parametra, nulhipoteza bi bila da nema nikakve razlike. Uz nulhipotezu, postavlja se i njoj alternativna hipoteza koju označavamo sa H 1 . Ako se hipotezom u potpunosti (jednoznačno) odreduje populacijska razdioba, tada se takva hipoteza zove jednostavnom, u suprotnom se zove složena hipoteza. Statistički test je pravilo podjele prostora vrijednosti uzoraka na dva podskupa: na područje vrijednosti uzoraka koji su konzistentni sa H 0 , i na njegov komplement u kojemu se nalaze vrijednosti nekonzistentne sa H 0 . Testovi kojima ćemo se baviti dizajnirani su za odgovaranje na pitanje: “Da li podaci daju dovoljno dokaza za odbacivanje H 0 ?” Odluka o odbacivanju ili ne odbacivanju nulhipoteze donosi se na osnovi vrijednosti testne statistike. Područje vrijednosti koje testna statistika poprima (dakle, njezina slika) dijeli se na područje vrijednosti koje su konzistentne sa H 0 i na područje nekonzistentno sa H 0 . Područje testne statistike koje je nekozistentno sa H 0 zove se kritično područje. Dakle, ako se opažena vrijednost testne statistike nalazi u kritičnom području, H 0 se odbacuje (u korist H 1 ). Razina značajnosti testa α je vjerojatnost odbacivanja H 0 ako je H 0 istinita hipoteza. Za slučaj kada odbacimo H 0 ako je H 0 istinito, kažemo da smo počinili pogrešku prve vrste. Pogrešku druge vrste činimo kada ne odbacujemo H 0 , a H 1 je istinito. Vjerojatnost pogreške druge vrste označavamo sa β. Idealni test bi bio onaj za koji bi bilo moguće vjerojatnosti obiju grešaka učiniti po volji malima. Takav test ne postoji. 9.2 Klasično testiranje, značajnost i p-vrijednosti 9.2.1 “Najbolji” testovi Klasični pristup nalaženja “dobrog” testa, tzv. Neyman-Pearsonova teorija, polazi od fiksne razine značajnosti α i konstruira test za koji vrijedi da je pogreška druge vrste β najmanja moguća za sve parametre specificirane alternativnom hipotezom H 1 . Ključni rezultat u toj teoriji je Neyman-Pearsonova lema koja daje najbolji test (najmanji β uz fiksno α) u 78
slučaju kada su obje hipoteze, nulhipoteza i alternativna, jednostavne hipoteze. Za zadanu razinu značajnosti, kritično se područje (a time i testna statistika) za najbolji test, odredi kao skup onih vrijednosti uzoraka za koje vrijedi da je omjer L 0 /L 1 vjerodostojnosti L 0 uz H 0 i L 1 uz H 1 , izraženih kao funkcije uzoraka, ograničen odozgo nekom konstantom. Preciznije, ako je C kritično područje veličine α, te ako postoji konstanta k takva da za sve točke iz C vrijedi L 0 L 1 ≤ k, a da za točke izvan C vrijedi L 0 L 1 > k, tada je C najjače kritično područje veličine α za testiranje jednostavne osnovne hipoteze H 0 : θ = θ 0 u odnosu na jednostavnu alternativnu hipotezu H 1 : θ = θ 1 (L 0 ≡ L(θ 0 ), L 1 ≡ L(θ 1 )). Ako je barem jedna od hipoteza H 0 i/ili H 1 složena, tada samo u specijalnim slučajevima, na primjer kod jednostranih testova, postoji test koji je najbolji za sve parametre. U slučajevima kada najbolji test u smislu Neymman-Pearsonove teorije ne postoji, koristi se drugi pristup za nalaženje dobrih testova: metoda omjera vjerodostojnosti. Testovi dobiveni metodom omjera vjerodostojnosti su, na neki način, poopćenja testova dobivenih Neyman-Pearsonovim pristupom. Kritično područje testa omjera vjerodostojnosti zadovoljava nejednadžbu: max θ∈H0 L(θ|x) max θ L(θ|x) za neki k. Maksimum u brojniku se uzima samo po vrijednostima parametra koja zadovoljavaju hipotezu H 0 , dok se maksimum u nazivniku uzima u odnosu na sve moguće vrijednosti parametara. Na primjer, primjenom tog pristupa na slučaj uzorkovanja iz normalne populacije N(µ, σ 2 ) i testiranje hipoteze H 0 : µ = µ 0 , gdje je µ 0 zadani broj, dolazimo do testa opisanoga testnom statistikom T = X − µ 0 √ n S za koju vrijedi da, ako je H 0 ispunjeno, ima Studentovu t(n − 1)-razdiobu. Tu činjenicu pišemo: T H 0 ∼ t(n − 1). Istom metodom dolazimo do testne statistike za testiranje H 0 : σ 2 = σ0 2 (σ2 0 je zadani pozitivni realni broj): (n − 1)s 2 H ∼ 0 χ 2 (n − 1). σ 2 0 Primjer 9.1 X je slučajni uzorak iz N(µ, σ 2 )-distribuirane populacije i oba parametra su nepoznata. želimo sprovesti jednostrani test (µ 0 je zadani broj): ≤ k H 0 : µ = µ 0 , H 1 : µ < µ 0 uz razinu značajnosti od 5%. Testna statistika je T = X − µ 0 √ H n ∼ 0 t(n − 1), S a kritično područje je ⟨−∞, −t 0.05 (n−1)]. Dakle, ako je vrijednost t = T (x) testne statistike T na opaženom uzorku x takva da je t ≤ −t 0.05 (n−1), tada odbacujemo H 0 uz značajnost od 5% (tj. uz rizik od 5% da smo pogriješili) 1 . Da smo imali suprotnu jednostranu alternativu H ′ 1 : µ > µ 0, tada bi kritično područje bio interval [t 0.05 (n − 1), +∞⟩. 1 Korektna interpretacija ovog jednostranog testa (i gotovo svakog drugog jednostranog testa) je da, u stvari, testiramo H ′ 0 : µ ≥ µ 0 u odnosu na H 1 : µ < µ 0. U tom slučaju, razina značajnosti se interpretira kao najveća vjerojatnost pogreške prve vrste. Budući da nije teško pokazati da se ta najveća vjerojatnost postiže upravo za graničnu vrijednost µ = µ 0 , jednostrani test iz primjera 9.1 je ekvivalentan testu sa korektnim zapisom hipoteza. 79
Page 1 and 2:
Sveučilište u Zagrebu PMF-Matemat
Page 3 and 4:
4 Zajednička razdioba slučajnih v
Page 5 and 6:
10.2.7 Provjera modela . . . . . .
Page 7 and 8:
deskriptivne statistike, koriste se
Page 11 and 12:
elativna visina razred frekvencija
Page 13 and 14:
Primjer 1.8 Aritmetička sredina po
Page 15:
U sljedećem koraku definiramo donj
Page 18 and 19:
zovemo vjerojatnost na (Ω, F). Bro
Page 20 and 21:
Funkciju f X zovemo funkcijom gusto
Page 22 and 23:
2.7 Momenti Neka je X slučajna var
Page 24 and 25:
Geometrijska slučajna varijabla im
Page 26 and 27:
Vrijedi: E[X] = α + β (β − α)
Page 28 and 29: 0.4 0.3 0.2 0.1 -3 -2 -1 0 1 2 3 In
Page 30 and 31: 2.9.2 Neprekidne razdiobe Neka je X
Page 32 and 33: Poglavlje 3 Funkcije izvodnice 3.1
Page 34 and 35: Primjer 3.5 Pomoću f.i.v., izraču
Page 36 and 37: 3.5 Funkcije izvodnice linearnih fu
Page 38 and 39: Svojstva te funkcije: (G1) f X,Y (x
Page 40 and 41: Primjer 4.3 Za slučajni vektor (X,
Page 42 and 43: 4.6 Kovarijanca i koeficijent korel
Page 44 and 45: 4.8 Konvolucije Neka su X i Y sluč
Page 46 and 47: Primjer 4.9 Neka su X ∼ P (λ) i
Page 48 and 49: Kompozicaja te funkcije i slučajne
Page 50 and 51: Alternativno se koristi nestandardi
Page 52 and 53: 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 -4 -3 -2 -1 1 2
Page 54 and 55: 5.2.3 Gama razdioba Neka je X 1 , X
Page 56 and 57: su statistike, dok uzorački drugi
Page 58 and 59: Dakle, S 2 ima χ 2 -distribuciju k
Page 60 and 61: 6.5 Fisherova F -razdioba Ako su U
Page 62 and 63: Dakle, procjenitelj metodom momenat
Page 64 and 65: Primjer 7.5 Neka je x = (x 1 , x 2
Page 66 and 67: Očito se ta jednadžba mora rješa
Page 68 and 69: Cramer-Raova donja granica. Primije
Page 70 and 71: Na primjer, ako je θ ↦→ g(X,
Page 72 and 73: Ta veličina je studentizirana verz
Page 74 and 75: 8.3.2 Parametar Poissonove razdiobe
Page 76 and 77: gdje su ˆθ 1 = X 1 /n 1 i ˆθ 2
Page 80 and 81: Ako bi htjeli sprovesti dvostrani t
Page 82 and 83: 9.3.4 Testovi o parametru Poissonov
Page 84 and 85: 9.6 Testovi i pouzdani intervali Ob
Page 86 and 87: Zadnja smo dva razreda u tablici mo
Page 88 and 89: Dijagram rasprešenja: 5 4.5 4 ispl
Page 90 and 91: 10.1.2 Normalni model i inferencija
Page 92 and 93: Nije teško pokazati da se te procj
Page 94 and 95: 5 4.5 4 isplata 3.5 3 2.5 2 2 2.5 3
Page 96 and 97: Ta se slučajna varijabla kristi ka
Page 98 and 99: 10.2.8 Transformirani podaci U neki
Page 100 and 101: te τ i , odstupanje i-tog tretmana
Page 102 and 103: Primjer 11.1 Iz svakog od tri osigu
Page 104 and 105: 11.2 Analiza sredina tretmana Pretp
Page 106: Literatura [1] Subject 101: Statist
show all

Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?