Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

Zadnja smo dva razreda u tablici morali združiti u jedan budući da očekivana frekvencija
u zadnjem razredu (0.4) nije bila veća od 5. Dakle, imamo ukupno k = 5 razreda. Budući
da smo jedan parametar morali procijeniti iz podataka, ukupan broj stupnjeva slobode je
5 − 1 − 1 = 3, pa je
H H 0
∼: χ 2 (3).
Opažena vrijednost te statistike je h = 537.5, pa je p-vrijednost P(H ≥ 537.5|H 0 ) vrlo
mala, gotovo jednaka nuli. Dakle, Poissonova razdioba ne opisuje zakon razdiobe broja
šteta prezentiranih danim uzorkom.
9.7.2 Kontingencijske tablice
Kontingencijskim tablicama prikazujemo frekvencije uzorka dobivenog mjerenjem dvodimenzionalnog
kategorijalnog ili diskretnog numeričkog obilježja (X, Y ). Cilj nam je testirati
nulhipotezu da su X i Y nezavisne varijable ili nulhipotezu da su populacijske razdiobe jedne
varijable, recimo X, homogene obzirom na populacije klasificirane po drugoj komponenti
(Y ). Uz te pretpostavke, očekivane frekvencije svakog polja u tablici računaju se po formuli:
ukupan zbroj toga retka × ukupan zbroj toga stupca
veličina uzorka
Ako u tablici imamo r redaka i c stupaca, tada je broj stupnjeva slobode testne statistike
rc − (r − 1 + c − 1) − 1 = (r − 1)(c − 1).
Primjer 9.6 Za svako od osiguravajućih društava A, B i C uzet je po slučajni uzorak
polica neživotnih osiguranja odredenog tipa. Rezultat dobiven opažanjima tih uzoraka je
da je šteta u prošloj godini bilo po 23% polica od A, po 28% polica od B i po 20% polica
od C. Testirajte ima li značajnih razlika izmedu tih proporcija ako su veličine uzoraka
(a) 100, 100, 200
(b) 300, 300, 600
redom za A, B, C.
Rješenje. Nulhipoteza je da je obilježje “ima ili nema štete po polici” homogeno po distribuciji
obzirom na pripadnost police osiguravajućem društvu A, B ili C.
Za slučaj (a) kontingencijske tablice opaženih i očekivanih frekvencija su:
f ij A B C Σ
ima štete 23 28 40 91
nema štete 77 72 160 309
Σ 100 100 200 400
Vrijednost testne statistike
H = ∑ i,j
e ij A B C Σ
ima štete 22.75 22.75 45.50 91
nema štete 77.25 77.25 154.50 309
Σ 100 100 200 400
(f ij − e ij ) 2
e ij
H 0
∼: χ 2 ((2 − 1) · (3 − 1)) = χ 2 (2)
je h = 2.43, pa je p-vrijednost P(H ≥ 2.43|H 0 ) = 0.30. Dakle, nemamo jakih dokaza
za odbacivanje hipoteze o homogenosti proporcija polica sa štetama u tri navedena osiguravajuća
društva.
Budući da su opažene proporcije iste, u slučaju (b) su sve frekvencije uvećane tri puta u
odnosu na slučaj (a). To znači da je i vrijednost testne statistike uvećana tri puta i iznosi
h = 3 · 2.43 = 7.29. Primijetite da je aproksimativna razdioba testne statistika ista. p-
vrijednost je P(H ≥ 7.29|H 0 ) = 0.026, pa ovoga puta imamo jake dokaze za odbacivanje
nulhipoteze o homogenosti proporcija broja šteta.
.
86