Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

Očito se ta jednadžba mora rješavati numeričkim metodama. Da bi je riješili, na primjer,
Newtonovom metodom, treba nam početna vrijednost za iteracije λ 0 koja se nalazi u okolini
tražene točke maksimuma. Do nje možemo doći grubom procjenom za λ, a nju možemo
dobiti ako 4 vrijednosti iz razreda “≥ 5” tretiramo kao da su točno jednake 5, pa primijenimo
metodu momenata. Budući da je λ populacijsko očekivanje, (gruba) procjena ˜λ metodom
momenata iznosi
˜λ = ¯x ≈
81056 · 0 + 16174 · 1 + 2435 · 2 + 295 · 3 + 36 · 4 + 4 · 5
100000
= 0.22093.
Dakle, uzmimo λ 0 = 0.22093. Newtonovom metodom dobijemo da je rješenje stacionarne
jednadžbe log-vjerodostojnosti
ˆλ = 0.22078.
Primijetite da se gruba procjena dobivena metodom momenata i MLE razlikuju tek na
četvrtoj decimali. Dakle, ako želimo točnost do na prve tri decimale, gruba procjena
metodom momenata, za ovako veliki uzorak, je zadovoljavajuća.
7.2.4 Nezavisni uzorci
Pretpostavimo da imamo dva nezavisna uzorka iz populacija čije razdiobe ovise o istom
parametru. Tada je vjerodostojnost tog parametra na osnovi oba uzorka jednaka produktu
vjerodostojnosti istog parametra, ali na osnovi svakog uzorka posebno.
7.3 Nepristranost
Dobra svojstva procjenitelja parametra su da je lociran blizu prave vrijednosti parametra,
te da ima malu raspršenost. Ta svojstva proizlaze iz njegove uzoračke razdiobe.
Neka je X = (X 1 , X 2 , . . . , X n ) slučajni uzorak iz populacije sa gustoćom f(x|θ). Kažemo
da je procjenitelj ˆθ(X) nepristran za parametar θ ako je
E[ˆθ(X)] = θ.
Svojstvo nepristranosti procjenitelja nije invarijantno na nelinearne transformacije parametara.Čini
se da je to dobro svojstvo procjenitelja. S druge strane, to nije bitno svojstvo za
procjenitelja. Naime, u nekim situacijama pristran procjenitelj je bolji od nepristranog, pa
i od najboljeg nepristranog procjenitelja. Od nepristranosti, bitnije je da procjenitelj ima
malu srednjekvadratnu grešku.
7.4 Srednjekvadratna pogreška
Da bi procjenitelje mogli usporedivati, trebamo mjeriti njihovu efikasnost. Mjera za efikasnost
procjenitelja je srednjekvadratna pogreška.
Srednjekvadratna pogreška, kraće MSE, procjenitelja ˆθ = ˆθ(X) za parametar θ je broj
MSE(ˆθ) := E[(ˆθ(X) − θ) 2 ].
Primijetite da je MSE(ˆθ) funkcija parametra θ. Nadalje, MSE je drugi moment od ˆθ(X)
oko θ. U slučaju da je ˆθ(X) nepristrani procjenitelj za θ, MSE(ˆθ) = Var[ˆθ(X)].
Ako pristranost od ˆθ(X) definiramo kao broj
b(ˆθ) := E[ˆθ(X)] − θ,
66