Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

Poglavlje 10
Korelacija i regresija
U ovom poglavlju bavimo se statističkom analizom povezanosti medu varijablama. Iako
se može izučavati povezanost više varijabli, mi ćemo se ograničiti na bivarijatni slučaj
(X, Y ). Nadalje, ograničit ćemo se samo na linearnu povezanost, dakle, na modele koji
pretpostavljaju da je uvjetno očekivanje od Y za svaku danu vrijednost x od X, linearna
funkcija od x (tj. regresijska funkcija od Y na X = x je linearna funkcija):
E[Y |X = x] = α + βx.
U korelacijskoj analizi dviju varijabli naglasak je na problemu odredivanja mjere jakosti
linearne povezanosti medu njima.
U regresijskoj analizi varijabli X i Y naglasak je na prirodi veze izmedu varijable Y kao
zavisne varijable (odziv) i X kao nezavisne varijable (poticaj). Analiza se sastoji u odabiru
i prilagodbi primjerenog modela u svrhu predvidanja odziva (individualne vrijednosti od Y
ili očekivane vrijednosti od Y ) za zadani poticaj (za zadanu vrijednost x od X). Kao što
smo već spomenuli, ograničit ćemo se samo na linearnu vezu izmedu X i Y .
Pretpostavimo da je mjerenje bivarijatnog vektora (X, Y ) dalo sljedeće podatke:
(x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), . . . , (x n , y n ) (10.1)
Prije nego odaberemo i primijenimo metode inferencijalne statistike, analizirajmo podatke
grafički, pomoću dijagrama raspršenja, da bi vidjeli postoji li uopće ikakva veza izmedu
varijabli X i Y , te, ako postoji, koja je priroda povezanosti.
Ako je linearna povezanost od X i Y plauzibilna, analizira se varijabilnost od Y za
fiksnu vrijednost x od X da bi se ocijenila jakost linearne veze izmedu X i Y .
Ako se pokazalo da X i Y nisu povezane ili da veza nije linearna, tada se metode
koje ćemo diskutirati u ovom poglavlju ne mogu primijeniti. S druge strane, može se dogoditi
da dobro odabrana transformacija originalnih podataka pokaže linearnu povezanost
izmedu transformiranih podataka. U tom slučaju se opisane metode mogu primijeniti na
transformirane varijable.
Dijagram raspršenja je prikaz podataka (10.1) kao točaka u Kartezijevom koordinatnom
sustavu.
Primjer 10.1 Uzorak se sastoji od 10 podataka o iznosima zahtjeva za naknadu šteta i
korespodentnih iznosa koje je osiguravajuće društvo stvarno platilo (u jedinicama od po
100 kn):
zahtjev (x) 2.10 2.40 2.50 3.20 3.60 3.80 4.10 4.20 4.50 5.00
isplata (y) 2.18 2.06 2.54 2.61 3.67 3.25 4.02 3.71 4.38 4.45
87