Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

4.6 Kovarijanca i koeficijent korelacije
Kovarijanca dviju slučajnih varijabli X, Y definira se kao broj
ako desna strana postoji. (4.4) je ekvivalentno sa
cov[X, Y ] := E[(X − E[X])(Y − E[Y ])] (4.4)
cov[X, Y ] = E[XY ] − E[X]E[Y ]. (4.5)
Fizikalna jedinica kovarijance jednaka je produktu fizikalnih jedinica od X i Y . Primijetite
da je cov[X, X] = Var[X].
Primjer 4.5 Za slučajne varijable X, Y iz primjera 4.1 je E[X] = 7/2, E[Y ] = 91/36 i
6∑ 6∑
6∑
E[XY ] = ijp ij =
i=1 j=1 i=1
i 2 (7 − i)
36
+
6∑
6∑
i=1 j=i+1
ij
36 = 371
36 ,
pa je
cov[X, Y ] = E[XY ] − E[X]E[Y ] = 371
36 − 7 2 · 91
36 = 35
24 = 1.45833.
Navedimo neka svojstva kovarijance. Prvo, vrijedi
cov[aX + b, cY + d] = accov[X, Y ] (4.6)
za sve brojeve a, b, c, d i sve slučajne varijable X,Y za koje navedene kovarijance postoje.
Dokaz. E[aX+b] = aE[X]+b i E[cY +d] = cE[Y ]+d pa je aX+b−E[aX+b] = a(X−E[X])
i cY + d − E[cY + d] = c(Y − E[Y ]), dakle,
cov[aX+b, cY +d] = E[a(X−E[X])·c(Y −E[Y ])] = acE[(X−E[X])(Y −E[Y ])] = accov[X, Y ].
Nadalje, za sve slučajne varijable X, Y , Z za koje navedene kovarijance postoje je
Dokaz.
cov[X, Y + Z] = cov[X, Y ] + cov[X, Z]. (4.7)
E[X(Y + Z)] = E[XY ] + E[XZ] (linearnost)
⇒ cov[X, Y + Z]
E[Y + Z] = E[Y ] + E[Z] (linearnost)
(4.5)
= E[X(Y + Z)] − E[X]E[Y + Z] =
= E[XY ] + E[XZ] − E[X]E[Y ] − E[X]E[Z] =
(4.5)
= cov[X, Y ] + cov[X, Z].
Ako su X i Y nezavisne slučajne varijable, tada je nužno cov[X, Y ] = 0. Ta činjenica
slijedi iz (4.5) i svojstva matematičkog očekivanja produkta nezavisnih varijabli (4.3).
Kovarijanca dviju slučajnih varijabli mjeri stupanj njihove linearne povezanosti. Istu
stvar mjeri koeficijent korelacije koji se definira kao kovarijanca njihovih standardiziranih
verzija. Prema tome, za razliku od kovarijance, koeficijent korelacije je bezdimenzionalna
42