Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

2.7 Momenti
Neka je X slučajna varijabla, k prirodan, a c neki realan broj. k-ti moment od X oko c je
broj
E[(X − c) k ].
Momenti oko ishodišta (c = 0) jednostavno se zovu momentima. Centralni momenti su
momenti oko matematičkog očekivanja. Na primjer, matematičko očekivanje je prvi moment,
a varijanca drugi centralni moment. Prvi centralni moment je identički jednak nuli.
Korištenjem linearnosti očekivanja može se pokazati da za treći centralni moment µ 3 vrijedi
µ 3 = E[X 3 ] − 3µE[X 2 ] + 2µ 3 ,
gdje je µ = E[X]. Treći centralni moment standardizirane verzije Z od X, u oznaci α 3 (X),
zove se koeficijent asimetrije od X. Dakle,
( ) X − µ 3
α 3 (X) = E[ ],
σ
gdje su µ = E[X] i σ = σ(X). Distribucija od X je simetrična ako je α 3 (X) = 0, negativno
je asimetrična ako je α 3 (X) < 0, a pozitivno asimetrična ako je α 3 (X) > 0.
2.8 Primjeri važnih distribucija
Najvažnije svojstvo slučajnih varijabli za primjene je njihova distribucija opisana gustoćom
ili funkcijom distribucije. U ovoj točki navedene distribucije prirodno se pojavljuju u
mnogim područjima primjene. Uz precizno opisane razdiobe, navedena je i njihova interpretacija.
2.8.1 Diskretne razdiobe
Diskretne slučajne varijable najčešće se interpretiraju kao broj nečega, odnosno kao rezultat
nekog procesa prebrojavanja (broj uspjeha, broj smrti, broj šteta po polici osiguranja i sl.).
Uniformna razdioba
Slučajna varijabla X ima uniformnu razdiobu na skupu S = {1, 2, . . . , k} (k je prirodni
broj) ako je
Tada je
f X (x) = P(X = x) = 1 k
za x ∈ S = ImX.
E[X] = 1 · 1
k + 2 · 1
k + · · · + k · 1
k = k + 1
2
E[X 2 ] = 1 2 · 1
k + 22 · 1
k + · · · + k2 · 1
k
⇒ Var[X] = E[X 2 ] − E[X] 2 =
(k + 1)(2k + 1)
6
(k + 1)(2k + 1)
=
6
− ( k + 1
2 )2 = k2 − 1
12 .
Na primjer, u pokusu bacanja simetrične kocke neka je X jednako broju koji se okrenuo.
Tada X ima uniformnu razdiobu na skupu {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
22