Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

8.4.1 Usporedba očekivanja normalno distribuiranih populacija
Ako su X 1 i X 2 uzoračke sredine dvaju nezavisnih uzoraka duljina n 1 , n 2 iz normalno
distribuiranih populacija s poznatim varijancama σ1 2 i σ2 2 , tada je jednakorepni (a time i
najkraće duljine) 95%-pouzdani interval za razliku µ 1 −µ 2 populacijskih očekivanja, jednak
√
σ1
2 X 1 − X 2 ± 1.96 · + σ2 2
.
n 1 n 2
Navedeni interval će biti aproksimativni 95%-pouzdani interval za razliku parametara o-
čekivanja općenito bilo kojih populacija, pri čemu umjesto populacijskih varijanci mogu
stajati njihove konzistentne procjene, uz uvjet da je uzorak dovoljno velik.
Ako su populacijske varijance nepoznate, ali pretpostavljamo da su jednake, dakle da
je σ 2 1 = σ2 2 = σ2 , tada je jednakorepni 95%-pouzdani interval najkraće duljine za razliku
µ 1 − µ 2 normalnih populacija:
gdje je
X 1 − X 2 ± t 0.025 (n 1 + n 2 − 2) · S p
√
1
n 1
+ 1 n 2
,
S 2 p := (n 1 − 1)S 2 1 + (n 2 − 1)S 2 2
n 1 + n 2 − 2
procjenitelj zajedničke varijance σ 2 . S 2 p je dobiven metodom ML, ali je normiran tako da
bude nepristrani procjenitelj za σ 2 . Statistiku S 2 p zovemo zajednička uzoračka varijanca.
8.4.2 Usporedba varijanci normalno distribuiranih populacija
Za usporedbu populacijskih varijanci, gledamo njihov omjer σ1 2/σ2 2 , a ne razliku. To se
može opravdati koncepcijom varijance, ali i tehničkim razlozima. Naime, postoji pivotna
veličina pomoću koje se mogu konstruirati pouzdani intervali za omjer σ1 2/σ2 2 , a na osnovi
dva nezavisna uzorka duljina n 1 , n 2 iz normalno distribuiranih populacija:
S 2 1 /S2 2
σ 2 1 /σ2 2
∼ F (n 1 − 1, n 2 − 1).
Jednakorepni (ne nužno i najkraći) 95%-pouzdani interval za σ1 2/σ2 2 je
[ ]
S
2
1
1
S2
2 ·
f 0.025 (n 1 − 1, n 2 − 1) , S2 1
S2
2 · f 0.025 (n 2 − 1, n 1 − 1) .
Kritične su vrijednosti f 0.025 (ν 1 , ν 2 ) objašnjene u potpoglavlju 6.5.
8.4.3 Usporedba populacijskih proporcija
Usporedba populacijskih proporcija odgovara usporedbi vjerojatnosti uspjeha dviju Bernoullijevih
populacija čiji su nezavisni uzorci opisani dvama nezavisnim binomnom slučajnim
varijablama, X 1 s parametrima (n 1 , θ 1 ) i X 2 s parametrima (n 2 , θ 2 ). Razmotrit ćemo samo
slučaj velikih uzoraka (n 1 i n 2 su veliki brojevi) i konstrukcije aproksimativnih pouzdanih
intervala. Konstrukcija se bazira na pivotnoj veličini
(ˆθ 1 − ˆθ 2 ) − (θ 1 − θ 2 )
√
∼: N(0, 1),
ˆθ 1 (1−ˆθ 1 )
n 1
+ ˆθ 2 (1−ˆθ 2 )
n 2
75